Curiosa Mathematica

14 Probleem van Prouhet-Tarry-Escott
14. Probleem van Prouhet-Tarry-Escott
Dit probleem werd eerst bestudeerd door Eugène Prouhet in 1851, later door Gaston Tarry en Edward
Escott begin de jaren 10:
Vind twee disjuncte verzamelingen A en B met elk n gehele getallen, zodat
de som van de ide-machten van alle elementen uit A en die uit B gelijk is, voor
elke i van 1 tot en met een gegeven k.
∀i ∈ {1,2,...,k} :
a i =
b i
De grootste k-waarde waarvoor er tot nu toe oplossingen zijn gevonden, is 11, met bijhorende verzamelingen
A = {22,61,86,127,140,151} en B = {35,47,94,121,146,148}.
a∈A
b∈B
22+61+86+127+140+151 = 35+47+94+121+146+148
22 2 +61 2 +86 2 +127 2 +140 2 +151 2 = 35 2 +47 2 +94 2 +121 2 +146 2 +148 2
22 3 +61 3 +86 3 +127 3 +140 3 +151 3 = 35 3 +47 3 +94 3 +121 3 +146 3 +148 3
22 4 +61 4 +86 4 +127 4 +140 4 +151 4 = 35 4 +47 4 +94 4 +121 4 +146 4 +148 4
Enzovoort, voor alle exponenten ∈ {1,2,3,...,11}.
Een heleboel oplossingen zijn te vinden op http://euler.free.fr/eslp/TarryPrb.htm.
15 Zeef van Erdős
Kies een natuurlijk getal n als startwaarde u0, verschillend van 0. Bepaal vervolgens u1 als het kleinste
veelvoud van (n−1) dat niet kleiner is dan u0, daarna u2 als het kleinste veelvoud van (n−2) niet kleiner
dan u1, en blijf dit herhalen totdat un−1 bepaald is.
Bijv. voor n = 10: 10 9
−→ 18 8
−→ 24 7
−→ 28 6
−→ 30 5
−→ 30 4
−→ 32 3
−→ 33 2
−→ 34 1
−→ 34.
Deze eindwaarde noemen we f(n). Wanneer we elk natuurlijk getal n aldus op f(n) afbeelden, verkrijgen
we de rij: 1,2,4,6,10,12,18,22,30,34,42,48,58,60,78,82,102,108... (OEIS A002491).
Paul Erdős en Eri Jabotinsky vonden een constructie die dezelfde rij oplevert. Omdat hun methode
vergelijkbaar is met de zeef van Erastothenes (zie ??, blz. ??), wordt ze de zeef van Erdős genoemd.
• Begin met de rij der natuurlijke getallen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...
• Begin met k = 2.
• Schrap elke k de term uit de (resterende) rij, te beginnen bij de term met volgnummer (2k −1).
• Herhaal stap 3 met k = 3,4,5...
Nu geldt deze verbazingwekkende eigenschap:
16 Vermoeden van Catalan
n
lim
n→∞
2
= π
f(n)
In 1844 sprak Belgisch wiskundige Eugène Charles Catalan het vermoeden uit dat 2 3 en 3 2 de enige
twee opeenvolgende natuurlijke machten zijn, op triviale machten na. Dit wil zeggen dat de volgende
diophantische vergelijking slechts één natuurlijke, niet-triviale oplossing heeft.
x a −y b = ±1, x,y,a,b > 1
7