Curiosa Mathematica

Met hier de genererende functie.
221 Langfords blokken
∞
n=0
Sn ·x n = 1−x−√ 1−6x+x 2
2x
221. Langfords blokken
Toen zijn zoontje een blokkentoren aan het bouwen was, merkte Dudley Langford iets speciaals op aan
de configuratie. Van elk kleur waren er twee blokjes, en ze waren zodanig gestapeld dat er tussen het
rode koppel juist één blok zat, tussen het blauwe koppel twee en tussen het gele koppel drie.
Dit inspireerde Langford tot de Langfordsequenties. Dit zijn permutaties van 2n getallen 1,1,2,2...n,n
zodanig dat er één getal zit tussen de 1’s, twee getallen tussen de 2’s, enzovoort. Voor het geval n = 3
(zoals de blokjes hierboven) geldt als Langfordsequentie bijvoorbeeld 231213, en deze oplossing is, op
omkering na, uniek.
Langfordsequenties bestaan alleen voor n-waarden congruent met 0 of 3 modulo 4. Wanneer we omgekeerde
sequenties niet apart meetellen, staat het aantal oplossingen voor n in OEIS A014552. De
sequenties zelf staan in OEIS A050998.
0,0,1,1,0,0,26,150,0,0,17792,108144,0,0,39809640,326721800,0,0,256814891280... (OEIS A014552)
222 Driehoeken van Kobon
Bekend gemaakt door Martin Gardner in 1983, vraagt het probleem van Kobon Fujimura het grootst
mogelijke aantal niet-overlappende driehoeken die worden begrensd door n rechte lijnsegmenten. Voor
kleine waarden van n is dit niet moeilijk op te lossen, maar voor grotere waarden is er nog geen algemene
oplossing bekend.
De eerste oplossingen (vanaf n = 3) zijn: 1,2,5,7,11,15,21... (OEIS A006066).
Ondanks dat er een bovengrens gegeven werd door Saburo Tamura, treden bij n = 10 de eerste problemen
op. Het maximale aantal driehoeken daar is 25 of 26, maar welkeen is nog onbekend. Hetzelfde geldt
voor n = 11, daar is 32 of 33 mogelijk. De grootste n-waarde waarvoor de oplossing gekend is, is
n = 17: daarvoor werd een configuratie met 85 driehoeken gevonden, wat overeenkomt met de theoretische
bovengrens. Deze bovengrens wordt algemeen gegeven door:
n·(n+2)
3
145