Curiosa Mathematica

90. Constante van Euler (e)
Ten slotte, als we uit de oorspronkelijke reeks de termen verwijderen waar een cijfer i in staat, houden we
de reeks over die bekend staat als de Kempnerreeks Ki. Opmerkelijk is dat deze Kempnerreeksen steeds
convergeren (hoewel de berekening lastig is), bijv. K9 = 22,920676619...
De harmonische reeks vormt tevens de sleutel tot de oplossing van volgend raadsel:
Een mier begint te kruipen over een rubberen koord met een lengte van 1 km,
naar het andere uiteinde. Zijn snelheid is 1 cm per seconde. Tegelijkertijd
rekt het koord 1 km per seconde uit, dus na 1 seconde is het 2 km lang, na 2
seconden 3 km, etc. Zal de mier ooit het eind van het koord bereiken?
De afstand die de mier na elke seconde erbij loopt, blijkt gelijk te zijn aan de harmonische reeks. Omdat
die divergeert moet de mier uiteindelijk, na een kolossale tijdspanne, het uiteinde van het koort bereiken.
90 Constante van Euler (e)
De eerste wiskundige die e als een welbepaalde constante beschouwde was Gottfried Leibniz, in 1690,
die de notatie b gebruikte. Het was echter Leonhard Euler die de moderne notatie e introduceerde,
oorspronkelijk (in 1731) in een brief naar Christian Goldbach en later (in 1748) in zijn werk Introductio
in Analysin Infinitorum. Waarschijnlijk leidde hij de letter e af van “exponentieel”.
e = 2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945...
Al in 1737 kon Euler aantonen dat e en e 2 irrationale getallen zijn. Johann Lambert bewees enkele jaren
later, in 1768, een sterker resultaat: voor elk rationaal getal q = 0 is e q irrationaal. Het bewijs dat e ook
transcendent is (d.w.z. géén wortel van een eindige veelterm met gehele coëfficiënten), werd pas gevonden
in 1873 door Charles Hermite.
De eigenschap van e in verband met exponentiële functies is eenvoudig maar belangrijk: f(x) = ex is de
enige functie (op de triviale f(x) = 0 na) die afgeleid dezelfde functie blijft.
Dit impliceert de volgende eigenschap:
De x = e x ,
e x dx = e x +c
en −1
lim = 1
n→0 n
Vorige uitdrukking kan ook worden geschreven in deze bekendere vorm.
e = lim(1+n)
n→0 1
n = lim 1+
n→∞
1
n n
Deze klassieke definitie voor e heeft als nadeel dat ze zeer traag convergeert. Zo is voor n = 10000 de
benadering slechts nauwkeurig tot drie decimalen na de komma. Met deze efficiëntere formules kon Euler
23 correcte decimalen uitrekenen:
e = 1+ 1 1
+
1 1·2 +
1
+... =
1·2·3
1
e
1 1
= 1− +
1 1·2 −
1
+... =
1·2·3
ez = 1+ z z2 z3
+ + +... =
1 1·2 1·2·3
49
∞ 1
n!
∞ (−1) n
n=0
n=0
∞
n=0
z n
n!
n!