Curiosa Mathematica

281. Baguenaudier
Arrow bewees echter (wiskundig) dat het onmogelijk is zo’n kiesstelsel te definiëren! Gelijk welk “eerlijk”,
democratisch systeem er ook aangewend wordt, deze zal altijd één van deze criteria schenden wanneer er
minstens drie keuzeopties en minstens twee kiezers zijn. De Bordatelling bijvoorbeeld voldoet niet aan
de onafhankelijkheid van irrelevante alternatieven.
281 Baguenaudier
Naar verluid werd deze puzzel bedacht door de Chinese generaal Hung Ming, rond het jaar 200, als
verpozing voor zijn vrouw terwijl hij weg was op oorlogspad. De benaming “baguenaudier” echter is
Frans; de puzzel zou door Franse boeren gebruikt geweest zijn om koffers af te sluiten. Letterlijk betekent
baguenaudier zoveel als “tijdverprutser”. In Italië staat de puzzel dan weer bekend als “Anelli di Cardano”,
Cardano’s ringen.
De baguenaudier bestaat uit een aantal ringen, trapvormig in elkaar gezet, met rond de eerste pijler een
koord in een lus; zie het diagram hieronder. Het doel van de puzzel ligt voor de hand: de lus scheiden
van de ringen.
Édouard Lucas, bekend als uitvinder van de torens van Hanoi (zie ??, blz. ??), gaf een elegante oplossing
gebruik makende van binaire getallen en Graycode (zie 293, blz. 208). Het minimale aantal oplossingen
S(n) voor de puzzel met n ringen, is eenvoudig uit te drukken:
2
S(n) =
3 ·2n
−1
Recursief worden ze gegeven door:
S(1) = 1, S(2) = 2, S(n) = S(n−1)+2S(n−2)+1
0,1,2,5,10,21,42,85,170,341,682,1365,2730,5461,10922,21845,43690,87381... (OEIS A000975)
En tot slot de genererende functie voor S(n):
∞
S(i)·x i =
i=1
282 Conways pijlenketen
x
(1+x)(1−x)(1−2x)
Een handige manier op om te springen met extreem grote getallen, nog veel groter dan Knuths pijlomhoognotatie
(zie 268, blz. 180) zou aankunnen, is via de pijlenkettingen van John Conway. Deze bestaan
uit een eindige rij van natuurlijke getallen, gescheiden door een “→”. Zo’n keten wordt als volgt recursief
gedefinieerd; schrijf p en q voor natuurlijke getallen en S voor een subketen.
• De keten p stelt gewoon het getal p voor.
• De keten p → q representeert p q .
• S → p → 1 is equivalent met S → p.
191