Curiosa Mathematica

41. 15-stelling
Dit toch wel verrassende vermoeden heeft zware consequenties. Omdat het zo algemeen is, zijn er een
heleboel stellingen en vermoedens die direct bewezen zouden zijn als gevolg van het abc-vermoeden, zoals
de Laatste Stelling van Fermat. Hoewel het anders uitdraaide, dacht men in feite zelfs in de jaren 80
dat het abc-vermoeden het eerste bewijs zou leveren voor deze notoire stelling. Andere gevolgen zijn te
vinden op http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Some_consequences.
Groot was de opschudding toen zeer recentelijk (in augustus 2012) Japans wiskundige Shinichi Muchizuki
beweerde een bewijs gevonden te hebben voor het abc-vermoeden. Hij bouwde daarvoor een heel eigen
theorie op (“interuniversele Teichmüllertheorie”) en bewees daarmee tevens enkele andere open problemen,
het vermoeden van Szpiro en dat van Vojta. Probleem is nog dat bijna niemand thuis is in deze theorie;
wiskundigen zijn momenteel bezig het bewijs te verifiëren.
41 15-stelling
Kwadratische vormen zijn veeltermen, eventueel in meerdere variabelen, waarvan de graad in alle termen
gelijk is aan twee. Ze worden vaak voorgesteld via een symmetrische matrix, op de volgende manier:
w 2 +2x 2 +2y 2 +11z 2 +4wz +2wy −4xz −→
w x y z
⎡ ⎤
w 1 0 1 2
x
⎢ 0 2 0 −2
⎥
⎢ ⎥
y ⎣ 1 0 2 0 ⎦
z 2 −2 0 11
John Conway en William Schneeberger bewezen in 1993 dat wanneer een kwadratische vorm met geheelwaardige,
positief-definiete matrix alle positieve getallen tot en met 15 kan uitdrukken, ze dan elke
positieve waarde vertegenwoordigt. Positief-definiet houdt in dat elk resultaat positief moet zijn, ongeacht
welke waarden de variabelen aannemen. Het bewijs was zeer technisch en werd nooit gepubliceerd,
tot Manjul Bhargava een eenvoudiger bewijs vond en dit uitgaf in 2000.
Om preciezer te zijn, volstaat het dat de getallen {1,2,3,5,6,7,10,14,15} bereikt worden. Voor elk van
deze negen getallen bestaat er een kwadratische vorm die alle positieve getallen aanneemt, behalve dit
ene getal, zoals bijvoorbeeld het geval is voor 15 met w 2 +2x 2 +5y 2 +5z 2 .
Het voorbeeld van daarnet is een kwadratische vorm die aan de voorwaarden voldoet en dus elk positief
geheel getal aanneemt; zo’n vorm wordt universeel genoemd.
w 2 +2x 2 +2y 2 +11z 2 +4wz +2wy −4xz −→
w x y z
1 1 0 0 0
2 0 0 1 0
3 1 1 0 0
5 1 0 1 0
6 1 −1 0 −1
7 1 1 1 0
10 0 1 2 0
14 1 1 0 1
15 1 1 2 0
Een eenvoudiger voorbeeld is Lagranges vierkwadratenstelling (zie 25, blz. 13); de bijhorende matrix is
eenvoudigweg de identiteitsmatrix van orde 4. Conways 15-stelling vormt echter geen alternatief bewijs
omdat Lagranges stelling gebruikt wordt als hulpstelling voor die van Conway.
23