Curiosa Mathematica

334 Sprouts
XVI Wiskundige spellen
Sprouts werd uitgevonden door John Conway en Michael Paterson op de Cambridge University begin de
jaren 60 en werd aandachtig geanalyseerd en gepopulariseerd door Conway. Het is een van de populairste
wiskundige spellen met pen en papier; er bestaan zelfs heuse Sproutstoernooien.
Het spel begint met een aantal punten op een vel papier. Elke speler tekent op zijn beurt een nieuwe lijn
tussen twee bestaande punten en tekent daarop een nieuw punt, volgens deze regels:
• De nieuwe lijn mag geen andere bestaande lijn raken of kruisen.
• Het nieuwe punt op de lijn mag niet samenvallen met een eindpunt van de lijn.
• Uit geen enkel punt mogen meer dan drie lijnen vertrekken.
Lussen zijn toegestaan. De speler die geen geldige lijn meer kan trekken, verliest.
Ondanks dat na elke beurt er een nieuw punt bijkomt, is het spel eindig. Een beginopstelling met n
punten geeft een spel met minimum 2n beurten en maximum 3n − 1. Aangezien in Sprouts elk spel
dus eindigt en er ook duidelijk geen gelijkspel mogelijk is, bestaat er een winnende strategie voor ofwel
de eerste, ofwel de tweede speler. Voor een klein aantal beginpunten is de analyse eenvoudig, maar het
spel wordt snel complex bij meerdere beginpunten. Denis Mollison bewees dat Sprouts met zes punten
een winnende methode voor de tweede speler bevat, in een handgemaakte, 47 pagina’s tellende analyse.
Met behulp van de beste hardware van dat moment konden David Applegate, Guy Jacobson en Daniel
Sleator in 1990 grotere spellen onderzoeken, tot en met elf punten. Ze bekwamen de volgende gegevens
en vermoedden dat het patroon zich voortzet:
Beginpunten: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Winnende speler: 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1
Dus, de eerste speler zou moeten kunnen winnen wanneer het aantal beginpunten congruent is met drie,
vier of vijf, modulo zes. In 2006 bereikte Josh Jordan een verdere analyse tot en met 14. Julien Lemoine
en Simon Viennot bedachten een efficiënt algoritme om de berekeningen drastisch te versnellen,
en breidden de analyse verder uit tot 44 punten in 2011. Tot zover blijken alle resultaten consistent met
het vermoeden van Applegate, Jacobson en Sleator.
Het is eenvoudig in te zien waarom een partijtje Sprouts na ten hoogste 3n − 1 stappen beëindigd is.
Noem het “leven” van een punt het aantal lijnen dat er nog aan kan toegevoegd worden; dus een spel met
n punten begint met 3n levens. Elke beurt verliezen er twee punten een leven, en wordt er een punt met
slechts één leven toegevoegd, zodat het totaal met één leven gereduceerd wordt. Het allerlaatste punt
253