Curiosa Mathematica

218. Motzkingetallen
Voor grote borden zijn volgende hulpmiddelen handig. Lonnie Roy Welch gaf een constructie waarmee
hij volgende bovengrens aantoonde, terwijl Spencer een ondergrens bewees:
218 Motzkingetallen
1
2 (n−1) ≤ γ(Qn×n) ≤ n−
De Motzkingetallen Mn, vernoemd naar Theodore Motzkin, stellen het aantal mogelijkheden voor om
n punten op een cirkel te verbinden met niet-snijdende koorden; zie het diagram hieronder. Net als de
Catalangetallen, Bellgetallen, Etringergetallen...komen ze ook voor in een aantal andere telproblemen.
Ze kunnen ook worden gevisualiseerd als het aantal mogelijke paden op een n×n-rooster, vertrekkend
van de linkeronderhoek en eindigend in de rechteronderhoek, door enkel en alleen gebruik te maken van
de richtingen →,ր en ց. Omdat een dergelijk pad slechts over de onderste helft van het rooster kan
lopen, staan hier de voorstellingen op een n
2 ×n-rooster.
De Motzkingetallen kunnen als volgt recursief worden berekend.
n
3
n−1
M0 = 1, M1 = 1, Mn+1 = Mn + Mi ·Mn−1−i =
i=0
2n+3
n+3 ·Mn + 3n
n+3 ·Mn−1
1,1,2,4,9,21,51,127,323,835,2188,5798,15511,41835,113634,310572,853467... (OEIS A001006)
Ook voor de Motzkingetallen bestaan er expliciete formules.
Een genererende functie:
∞
n=0
Mn ·x n =
Mn = − 1
2 ·
n+2
(−3) k
1/2 1/2
· ·
a n+2−a
a=0
2
1−x+ √ 1
=
1−2x−3x 2 x
1−x−
2
x
1−x−
2
1−x− x2
...
142