Curiosa Mathematica

3. Kwadraatvrije getallen
Geen bewijs dus. Het eerste officiële bewijs werd gepubliceerd door Euler in 1736, in een artikel Theorematum
Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio. Leibniz vond echter eerder al vrijwel
hetzelfde bewijs in een onverschenen manuscript vóór 1683.
De kleine stelling van Fermat beweert dat als p een priemgetal is en a een geheel getal, dan a p −a deelbaar
is door p; in modulaire notatie:
a p ≡ a (mod p)
Of, equivalent, wanneer a geen veelvoud is van p:
a p−1 ≡ 1 (mod p)
Het omgekeerde van de stelling is niet geldig. Er bestaan namelijk ook zogenaamde pseudopriemgetallen:
samengestelde getallen n waarvoor er een a bestaat met de eigenschap dat a n ≡ a (mod n). Er komen
zelfs samengestelde natuurlijke getallen voor die aan deze gelijkheid voldoen voor elke mogelijke a-waarde,
relatief priem met n; deze staan bekend als de Carmichaelgetallen, naar Robert Carmichael:
561,1105,1729,2465,2821,6601,8911,10585,15841,29341,41041,46657,52633... (OEIS A002997)
Een gelijkwaardige definitie wordt gegeven door het criterium van Alwin Korselt: een positief samengesteld
getal n is een Carmichaelgetal als en slechts als n kwadraatvrij is en voor elke priemfactor p van n
geldt dat p−1 | n−1.
3 Kwadraatvrije getallen
Een kwadraatvrij getal n is een geheel getal dat niet deelbaar is door een volkomen kwadraat, behalve 1.
Equivalente definities eisen dat in de priemfactorontbinding van n elke factor juist één keer voorkomt,
voor elke deler p geldt dat p 2 ∤ n of voor elke ontbinding n = a·b geldt dat a en b relatief priem zijn.
1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,21,22,23,26,29,30,31,33,34,35,37,38,39,41... (OEIS A005117)
Paul Erdős vermoedde dat de binomiaalcoëfficiënt 2n n nooit kwadraatvrij zou zijn als n > 4, wat in 1996
bewezen werd door Olivier Ramaré en Andrew Granville.
De verdeling van kwadraatvrije getallen geeft aanleiding tot een merkwaardige formule, die deze getallen
linkt aan Riemanns zetafunctie ζ (zie 116, blz. 67). Noemen we Q(x) het aantal kwadraatvrije getallen
tussen 1 en x, dan geldt:
Q(x) 1 6
lim = =
x→∞ x ζ(2) π2 We kunnen het concept der kwadraatvrije getallen ook uitbreiden naar n de -machten; als we Qn(x) noteren
als het aantal n de -machtsvrije getallen tussen 1 en x, herleidt bovenstaande formule zich tot:
4 Formule van Stirling
Qn(x) 1
lim =
x→∞ x ζ(n)
De formule van Stirling is een benadering voor de faculteit van grote natuurlijke getallen, waarbij de
recursiviteit van de faculteit veel te veel rekentijd zou vergen. Hoe groter het getal, hoe beter de schatting.
2