Curiosa Mathematica

220. Delannoy- en Schrödergetallen
Een recursieve formule voor de Delannoygetallen is deze.
1 voor m = 0 of n = 0
D(m,n) =
D(m−1,n)+D(m,n−1)+D(m−1,n−1) anderszins
De getallen kunnen in een tabel worden gerangschikt, zodat de berekening gemakkelijker gaat. Elk getal
is dan de som van de linker-, boven- en linkerbovenbuur (OEIS A008288).
D(m,n) 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
0 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
1 1 3 5 7 9 11 13 15 ...
2 1 5 13 25 41 61 85 113 ...
3 1 7 25 63 129 231 377 575 ...
4 1 9 41 129 321 681 1289 2241 ...
5 1 11 61 231 681 1683 3653 7183 ...
. . . . . . . . .
. ..
Ze kunnen uiteraard ook expliciet berekend worden.
m
D(m,n) = 2 d ·
d=0
m
·
d
n
d
Delannoygetallen hebben een interessante genererende functie:
∞ ∞
D(m,n)·x m ·y n 1
=
1−x−y −xy
m=0n=0
De centrale Delannoygetallen Dn = D(n,n) vormen OEIS A001850, en kunnen onder elkaar recursief
worden berekend. Ze hebben ook een eigen genererende functie.
D0 = 0, Dn = 6n−3
·Dn−1 −
n
n−1
n ·Dn−2
∞
Dn ·x n 1
= √
1−6x+x 2
n=0
1,3,13,63,321,1683,8989,48639,265729,1462563,8097453,45046719,251595969... (OEIS A001850)
De Schrödergetallen Sn zijn gedefinieerd als de Delannoypaden op een vierkant rooster die de diagonaal
(tussen begin- en eindpunt) niet overschrijden. Er bestaan meerdere soortgelijke constructies. De Schrödergetallen
tellen eveneens het aantal mogelijkheden om een rechthoek te verdelen in n+1 rechthoekjes
met n sneden, met de beperking dat er n punten binnen de grote rechthoek liggen zonder koppels die op
een rechte liggen evenwijdig aan de x- of y-as, zodat elke snede één punt doorsnijdt en één rechthoek in
tweeën verdeelt. De tekening verduidelijkt alles.
1,2,6,22,90,394,1806,8558,41586,206098,1037718,5293446,27297738,142078746... (OEIS A006318)
Ook voor Sn bestaan er expliciete en recursieve formules.
n−1
S0 = 1, Sn = Sn−1 + Sk ·Sn−k−1
144
k=0