Curiosa Mathematica

Probleem 2: consistentie van de rekenkunde
296. Overhangende Kaplablokken
• Toon aan dat de axioma’s van de rekenkunde niet met elkaar in tegenspraak zijn.
• Uit de onvolledigheidsstellingen van Gödel volgt dat dit onbewijsbaar is binnen de rekenkunde zelf.
Gerhard Gentzen toonde in 1936 aan dat de gegrondheid van het ordinaalgetal ε0 (zie 317, blz.
237) de consistentie impliceert.
Probleem 3
• Gegeven twee polyeders met gelijk volume, is het dan altijd mogelijk de eerste op te delen in eindig
veel polyhedrale stukken die opnieuw gemonteerd kunnen worden tot de tweede?
• Al na een jaar bewees Hilberts doctoraatsstudent Max Dehn via invarianten dat dit niet altijd kan.
Probleem 4
• Geodeten zijn krommen die plaatselijk de afstand tussen twee punten minimaliseren. Construeer
alle metrische ruimten waarin de geodeten rechten zijn.
• Te vaag om op te lossen. Een goed gedefinieerde verfijning werd opgelost door Georg Hamel.
Probleem 5
• Zijn continue groepen automatisch differentieerbaar?
• Indien geïnterpreteerd als lokaal compacte groep, is het probleem opgelost door inspanningen van
John von Neumann, Lev Pontryagin, Andrew Gleason en Hidehiko Yamabe. Indien geïnterpreteerd
als transformatiegroep, staat het probleem nog steeds open als het vermoeden van Hilbert-Smith.
Probleem 6
• Axiomatiseer de natuurwetenschappen waarin wiskunde een belangrijke rol speelt, de eerste in rang
zijnde statistiek en mechanica.
• Andrey Kolmogorov voorzag de statistiek van stevige fundamenten via maattheorie. Verdere pogingen
voor de gehele fysica bleken vruchteloos of leverden zelfs inconsistente theorieën op.
Probleem 7: irrationaliteit en transcendentie
• Is a b altijd transcendent voor algebraïsche a = 0,1 en irrationale algebraïsche b?
• Bevestigd door Aleksandr Gelfond en Theodor Schneider; zie 101, blz. 56.
Probleem 8: priemproblemen
• Bewijs de Riemannhypothese (zie 116, blz. 67) en het vermoeden van Goldbach (zie 28, blz. 14).
• Beide problemen staan open.
Probleem 8: reciprociteitswetten
• Bewijs de meest algemene wederkerigheidswet in een algemeen algebraïsch getallenveld.
•
296 Overhangende Kaplablokken
297 Manhattan distance paradox
209