Curiosa Mathematica

219 Combinatoriek in logaritmen
219. Combinatoriek in logaritmen
Enkele combinatorische getallen hebben een interessante eigenschap i.v.m. Briggse logaritmen.
Kijken we naar de Catalangetallen Cn (zie 211, blz. 134), dan convergeert het aantal cijfers van C10 n
naar de decimale ontwikkeling van log4. Het aantal cijfers geeft de rij 1, 5, 57, 598, 6015, 60199, 602051,
6020590, 60205987, 602059978, 6020599899, 60205999117, 602059991310...(OEIS A114466), terwijl de
logaritme log4 ≈ 0,6020599913! Symbolischer:
lim
n→∞
logC10n = log4
10n Een soortgelijk resultaat vinden we bij de Motzkingetallen (zie 218, blz. 142) Mn:
lim
n→∞
logM10n = log3
10n De Delannoygetallen Dn en Schrödergetallen (zie 220, blz. 143) Sn hebben eveneens zo’n limietwaarde.
lim
n→∞
logD10n logS10
= lim
10n n→∞
n
10n = log(3+2√ 2)
De Mersennegetallen Mn (zie 55, blz. 34) zijn weliswaar niet zo zeer combinatorisch, maar ook hier geldt
deze eigenschap.
logM10
lim
n→∞
n
= log2
10n Zelfs bij de Fibonaccigetallen Fn en Lucasgetallen Ln zien we deze logaritmen opduiken:
lim
n→∞
logF10n = lim
10n n→∞
logL10n = logϕ
10n Ook bij de harmonische getallen komt deze eigenschap voor: het aantal cijfers in de noemer van H10 n
convergeert dan naar de decimale ontwikkeling van loge.
220 Delannoy- en Schrödergetallen
De Delannoygetallen D(m,n) stellen het aantal paden voor op een m × n-rooster, vanuit de linkeronderhoek
naar de rechterbovenhoek, gebruik makend van de richtingen →,↑ en ր. Ze vertonen dan ook
verwantschap met de Catalan-, Motzkin- en Schrödergetallen.
143