Curiosa Mathematica

309. Gödels onvolledigheidsstellingen
Russell zelf beantwoordde zijn paradox met een geheel nieuwe hiërarchie van typen. Geïnspireerd door
eerder werk van Gottlob Frege publiceerden Bertrand Russell en Alfred Whitehead een driedelig opus
in 1910, 1912 en 1913, de Principia Mathematica, met als doel een complete en consistente basis te
geven waaruit dan alle wiskundige waarheid afgeleid zou kunnen worden. Helaas betekenden Gödels
onvolledigheidsstellingen (zie 309, blz. 234) dat dit nobele doel gedoemd is te mislukken.
309 Gödels onvolledigheidsstellingen
310 Het keuzeaxioma
311 Blauwogige eilandbewoners
Op de blog van Terence Tao verscheen in 2008 de volgende amusante logicapuzzel.
Op een afgelegen eiland woont een primitieve stam. De stamleden hebben
ofwel blauwe, ofwel bruine ogen, maar de plaatselijke religie verbiedt het
kennen van de eigen oogkleur: iedere ochtend komt de stam bijeen en vraagt
het opperhoofd of iemand zijn oogkleur achterhaald heeft, waarna de persoon
in kwestie rituele zelfmoord dient te plegen voor de ogen van de hele
stam. Iedereen kan elkaars ogen bekijken, maar niemand spreekt erover en
er zijn geen spiegels.
Op een dag komt een blauwogige ontdekkingsreiziger aan op het eiland en
deze wordt hartelijk ontvangen. Op een avond echter bedankt hij iedereen
voor de gastvrijheid en vermeldt hij terloops, onwetend van de etiquette:
“Vreemd om hier iemand te zien met dezelfde oogkleur als ik”...
Welk effect heeft deze faux pas op de stam? Alle stamleden zijn uitermate
vroom en kunnen perfect logisch denken. Daarenboven weten alle stamleden
dat alle stamleden uitermate vroom en logisch zijn, dat alle stamleden
weten dat alle stamleden uitermate vroom en logisch zijn, etc.
Op het eerste zicht lijkt een dergelijke uitspraak geen effect te hebben, aangezien alle stamleden kunnen
zien dat er meerdere stamleden met blauwe ogen zijn en de bezoeker dus geen extra informatie gegeven
heeft. Het concept common knowledge geeft echter aanleiding tot een tegensprekend argument.
Veronderstel dat er n blauwogige eilandbewoners in de stam wonen; na n dagen zullen zij dan allemaal
zelfmoord plegen. Het bewijs werkt inductief: als maar één stamlid blauwe ogen heeft, zal die doorhebben
dat de reiziger naar hem refereert, en zelfmoord plegen. Veronderstel dat er meerdere stamleden blauw
als oogkleur hebben, dan denkt elk ervan: “Mocht ik bruine ogen hebben, dan zijn er n−1 stamleden met
blauwe ogen, die dan allemaal zelfmoord zullen plegen na n−1 dagen.” Nadat n−1 dagen gepasseerd
zijn en de hele stam nog leeft, zullen deze n stamleden uitdokteren dat ze dus zelf blauwe ogen hebben.
De ontdekkingsreiziger heeft wel degelijk nieuwe, fatale informatie verstrekt. Alvorens hij zijn opmerking
maakte, was dit nog geen common knowledge: niet iedereen wist dat iedereen wist dat ...dat iemand
blauwe ogen heeft. Beschouw het geval n = 2: elke persoon met blauwe ogen weet dat er een tweede
met blauwe ogen is, maar hij weet niet dat de andere persoon dezelfde kennis heeft, en analoog in het
algemene geval, met n−1 levels. De bezoeker maakt van deze kennis echter common knowledge, zodat
de eilandbewoners hun oogkleur beginnen deduceren.
234