Curiosa Mathematica

320 Behangpatroongroepen
320. Behangpatroongroepen
Patronen worden over heel de wereld volop gebruikt in alle mogelijke culturen, zoals in het oude Egypte of
in mozaïeken van islamitische moskeeën. De voorwaarde om van een patroon te spreken, is dat die twee
translatiesymmetrieën bezit: door een horizontale of verticale verschuiving moet het patroon identiek
blijven. Dit heeft als consequentie dat een patroon zich feitelijk over heel het vlak moet uitstrekken. De
translaties hoeven niet loodrecht op elkaar te staan.
Door ook de andere symmetrieën (rotatie, reflectie en glijspiegeling) van deze structuren te bestuderen,
slaagde Yevgrav Fyodorov er in 1891 in te bewijzen dat er slechts 17 fundamenteel verschillende patronen
zijn, de zogenaamde behangpatroongroepen. George Pólya herontdekte in 1924 ditzelfde resultaat en gaf
het meer bekendheid in de wiskundige wereld. De publicaties van Pólya wekten tevens de interesse van
grafisch kunstenaar Maurits Escher en inspireerden hem voor diverse werken.
Ondanks het ontzaglijke en ontmoedigende aantal combinaties van symmetrieën, mogelijke posities voor
middelpunten of verschillende ordes van symmetrie, worden de mogelijkheden flink beperkt door de
stelling van de kristallografische restrictie. Deze stelt dat voor patronen enkel een rotatiesymmetrie van
orde 2, 3, 4 of 6 mogelijk is. De stelling is ook van toepassing op driedimensionale structuren (kristallen),
waarbij blijkt dat er maar liefst 230 kristallografische (ruimtelijke) groepen zijn.
De 17 behangpatroongroepen worden met diverse notaties beschreven. De meest gangbare is de IUCnotatie
(door de International Union of Crystallography in 1952), die ze met vier symbolen benoemt:
• p voor primitieve of c voor gecentreerde groepen
• 1, 2, 3, 4 of 6 voor de hoogste orde van rotatiesymmetrie
• m voor spiegeling, g voor glijspiegeling of 1 bij afwezigheid aan spiegeling (horizontaal)
• m voor spiegeling, g voor glijspiegeling of 1 bij afwezigheid aan spiegeling (verticaal)
John Conways orbifoldnotatie is niet gebaseerd op kristallografische maar op topologische eigenschappen.
• ∗ voor een spiegelsymmetrie
• 2, 3, 4 of 6 vóór de ∗ voor de ordes van rotatiecentra niet op een spiegelas gelegen (spiralen)
• 2, 3, 4 of 6 na de ∗ voor de ordes van rotatiecentra wél op een spiegelas gelegen (caleidoscopen)
• × voor een glijsymmetrie zonder spiegelsymmetrie
• ◦ voor structuren met uitsluitend translatiesymmetrie
Hier volgt een overzicht van de 17 groepen.
Bevat enkel de twee translatiesymmetrieën.
IUC: p111 of p1
Orbifold: ◦
Bevat vier rotatiesymmetrieën van orde 2, over 180 ◦ .
IUC: p211 of p2
Orbifold: 2222
241