Curiosa Mathematica

324. Symmetrische groep en permutatiegroepen
• G0 = 〈F,B,U,D,L,R〉: alle mogelijke uitgangsposities
• G1 = F,B,U 2 ,D 2 ,L,R : alle mogelijke posities te bereiken vanuit de opgeloste toestand door
halve draaien aan de boven- en onderkant, en kwartdraaien aan de andere zijden
• G2 = F 2 ,B 2 ,U 2 ,D 2 ,L,R : alle mogelijke posities te bereiken door kwartdraaien aan de linkeren
rechterkant, en halve draaien aan de andere zijden
• G3 = F 2 ,B 2 ,U 2 ,D 2 ,L,R : alle mogelijke posities te bereiken via halve draaien
• G4 = {E}: de opgeloste toestand
Het algoritme tracht een onopgeloste kubus uit G0 naar G1 te herleiden, daarna naar G2, enzoverder tot
de puzzel in G4 zit en dus opgelost is. Deze methode werd verbeterd door Herbert Kociemba in 1992.
324 Symmetrische groep en permutatiegroepen
Op een verzameling met n elementen vormen permutaties en diens samenstellingen een groepsstructuur,
die niet abels is, n! als orde bezit en de symmetrische groep Sn wordt genoemd. Deelgroepen van Sn
heten permutatiegroepen. Elementen van Sn kunnen worden voorgesteld met behulp van de cykelnotatie,
zoals bijvoorbeeld voor deze f als permutatie op {1,2,3,4,5}:
⎧
1 ↦→ 2
⎪⎨
2 ↦→ 4
f : 3 ↦→ 5
4 ↦→ 1
⎪⎩
5 ↦→ 3
⇒ f = (124)(35)
In deze notatie is het direct duidelijk dat f twee cykels bevat en de orde 6 heeft (het kleinste gemeenschappelijke
veelvoud van de lengtes van de cykels). Speciale permutaties die juist twee elementen omwisselen
en de andere fixeren, heten transposities. Omdat elke cykel te schrijven is als een samenstelling van
transposities, zoals voor (1234) = (14)◦(13)◦(12), geldt dat elke permutatie kan ontbonden worden
in transposities. Zo’n ontbinding is echter niet uniek, zelfs niet op volgorde van de transposities na:
(136)(2457) = (15)◦(35)◦(36)◦(57)◦(14)◦(27)◦(12)
= (16)◦(13)◦(27)◦(25)◦(24)
Wat wel invariant blijkt aan een permutatie is de pariteit van het aantal transposities in z’n ontbindingen.
Dit geeft aanleiding tot de benaming “even” en “oneven” permutaties (verwijzend naar deze pariteit).
Daarenboven is de samenstelling van twee even permutaties zelf weer even, dus vormen ze een deelgroep
met orde n!
2 , de alternerende groep An genoemd.
325 15-puzzel
De 15-puzzel werd uitgevonden door postbeambte Noyes Chapman en was een van de eerste schuifpuzzels.
Vooral in 1880 ontketende deze puzzel een ware rage, zeker toen hij werd gebruikt als reclamestunt voor
verscheidene producten en er geldprijzen op werden gezet. Sam Loyd, door Martin Gardner “Amerika’s
grootste puzzelaar en oplichter ooit” genoemd, hield tot aan zijn dood toe dat hij de feitelijke uitvinder
was en de puzzel populariseerde; onterecht dus, hoewel hij wel een prijs van $1.000 zette op een oplossing
van een specifieke combinatie.
De puzzel bestaat uit 15 genummerde blokjes, die door elkaar in een 4×4-doosje gelegd moeten worden
met één lege holte. De bedoeling is nu de blokjes naar de standaardrangschikking te schuiven:
246