Curiosa Mathematica

114. Stelling van McMullin
?(x) voor irrationale x wordt gedefinieerd met behulp van de voorstelling als kettingbreuk:
∞
?(x) = a0 −2
met x = [a0;a1,a2...]
i=1
(−1) i
2 a1+...+ai
Voor rationale x is de definitie analoog, maar dan met een eindige kettingbreuk:
n
?(x) = a0 −2
met x = [a0;a1,a2...an]
i=1
(−1) i
2 a1+...+ai
Een interessante interpretatie van ?(x) bestaat erin de kettingbreuk [0;a1,a2...] om te zetten naar een
binair getal in het eenheidsinterval, als a0 nullen, a1 enen, a2 nullen, a3 enen etc.
√ 3−1
2 bijvoorbeeld,
geeft de kettingbreuk [0;2,1,2,1,2,1...], wat overeenkomt met het binaire 0,01001001... of 2
7 decimaal.
√
3−1
? =
2
2
7
Voor rationale getallen kan de functie ook recursief gedefinieerd worden.
0 1 p+r
? = 0, ? = 1, ? =
1 1 q +s
1
p
r
? +?
2 q s
als |ps−qr| = 1
Een plot van de vraagtekenfunctie illustreert de fractale aard ervan:
De symmetrie van de functie stemt voort uit deze functionele vergelijkingen.
x
?(x) = 1−?(1−x) = 2?
x+1
Minkowski’s vraagtekenfunctie is een continue, strikt stijgende bijectie op [0,1], maar is niet absoluut
continu. Voor “bijna alle” x-waarden is de afgeleide ? ′ (x) 0, op een verzameling met maat nul na; door
deze eigenschap heet ?(x) een singuliere functie.
114 Stelling van McMullin
Lin McMullin ontdekte onlangs in 2004 een opzienbarend optreden van de gulden snede in vierdegraadspolynomen.
Twee jaar eerder merkte John Mahoney op dat de rechte door de twee buigpunten van zo’n
vierdegraadsfunctie, drie gebieden begrenst waarvan de oppervlaktes zich verhouden als 1 : 2 : 1.
65