Curiosa Mathematica

317.1 Stelling van Goodstein
317. Ordinaalgetallen
De stelling van Goodstein werd ontdekt en bewezen door Reuben Goodstein in 1944. Ze is om twee
redenen interessant: enerzijds is het resultaat op zich spectaculair, en anderzijds kan worden aangetoond
dat de stelling in feite onbewijsbaar is binnen de klassieke Peanorekenkunde. Het resultaat is wel degelijk
bewijsbaar als men het bestaan van het ordinaalgetal ε0 aanneemt.
De rijen van Goodstein, waar de stelling over gaat, worden geconstrueerd met behulp van super-n-notatie
of notatie in strikte basis n. Om een getal te noteren in deze vorm, moet die eerst worden geschreven
als een som van machten van n, waarbij de coëfficiënten kleiner dan n moeten zijn. Herhaal deze stap
nu met de exponenten, totdat de volledige representatie gebruik maakt van enkel getallen ten hoogste n.
Het getal 265 bijvoorbeeld, wordt in super-2-notatie:
265 = 2 22+1
+2 2+1 +1
Op naar Goodsteinrijen. De beginterm G1 van zo’n rij is een willekeurig natuurlijk getal. Schrijf dan
dit getal in super-2-notatie, verander elke 2 in 3 en trek één af van dit resultaat; deze waarde wordt G2.
Elke volgende term Gn verkrijgen we door de vorige te schrijven in super-n-notatie, elke n te vervangen
door n+1 en deze waarde te verminderen met één. Zulke rijen groeien extreem snel en worden algauw
onhandelbaar groot: kies 19 als G1, en G2 is al gelijk aan 7.625.597.484.990 (om nog maar te zwijgen over
G3, zo’n 1,3×10 154 ). De uiteindelijke stelling van Goodstein beweert echter dat voor elke Goodsteinrij,
met welk begingetal dan ook, hoe groot de tussenwaarden ook groeien en hoe lang de rij ook wordt,
uiteindelijk de termen stranden op nul!
In 1982 demonstreerden Laurie Kirby en Jeff Paris dat dit verassende resultaat onbewijsbaar is binnen de
Peanorekenkunde, niet af te leiden uit de axioma’s van Peano. Daarmee gaf het een concreet voorbeeld
van Gödels onvolledigheidsstelling (zie 309, blz. 234). Het oorspronkelijke bewijs van Goodstein maakt
gebruik van ordinaalgetallen, een concept binnen een sterker systeem.
317.2 Hercules vs. de Hydra
239