Curiosa Mathematica

152. Graf van Archimedes
werd later onafhankelijk herontdekt door Jesse Douglas in 1940 en Bernhard Neumann in 1941.
Plaats op de zijden van een willekeurige n-hoek P0, n gelijkbenige driehoeken waarvan de tophoek 2kπ
n
bedraagt. De vrije tophoeken bepalen een nieuwe n-hoek, P1. Herhaal deze stap op P1, met een andere
waarde k, en blijf dit herhalen totdat alle waarden 1 ≤ k ≤ n−2 gebruikt zijn (in willekeurige volgorde).
Merk op dat voor een hoek 180 ◦ , dit neerkomt op het midden nemen van de zijden, en voor hoeken
groter dan 180 ◦ , de driehoek naar binnen toe geconstrueerd dient te worden. Als resultaat van deze n−2
stappen is Pn−2 een regelmatige n-hoek, waarvan bovendien het zwaartepunt samenvalt met dat van P0.
Voor n = 3 herleidt de stelling van Petr-Douglas-Neumann (gangbaar afgekort tot PDN) zich tot de
stelling van Napoleon. Uit n = 4 kan gemakkelijk van Aubles resultaat afgeleid worden.
Voor n > 4 worden de tekeningen echter algauw nogal chaotisch, zoals die hieronder llustreren...
152 Graf van Archimedes
Tijdens de Tweede Punische Oorlog, rond 212 v. Chr., vielen Romeinse troepen de stad Syracuse binnen
waar op dat moment de legendarische wis- en natuurkundige Archimedes verbleef. Ondanks uitdrukkelijk
bevel van generaal Marcus Claudius Marcellus zijn leven te sparen, ontstak één van de soldaten in woede
toen hij Archimedes aantrof, wiskundige diagrammen tekenend in het zand en klagend dat zijn werk
verstoord werd. Zijn laatste woorden zouden geweest zijn: “Breng mijn cirkels toch niet in de war”
(µ´η µoυ τo`υς κ`υκλoυς τ´αραττε), waarop de soldaat hem neerstak met zijn zwaard.
Archimedes’ grafsteen draagt een gravure van zijn favoriete wiskundige ontdekking, omtrent een bol
ingeschreven in een cilinder. De bol raakt zowel de mantel als de onder- en bovenvlakken van de cilinder.
Archimedes toonde aan dat het volume en de oppervlakte van de bol zich verhouden tot die van de
cilinder als twee derde. In feite kan dit elegante resultaat nog sterker gemaakt worden door ook de kegel
in de cilinder erbij te beschouwen: in dat geval verhouden de volumes van kegel, bol en cilinder zich tot
elkaar als 1 : 2 : 3 en hun respectievelijke oppervlaktes als 3 : 4 : 6.
93
⇒