Curiosa Mathematica
Curiosa Mathematica
Curiosa Mathematica
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Maar er bestaat ook een heel scala aan expliciete voorschriften.<br />
<br />
n!<br />
!n =<br />
e<br />
= n·!(n−1)+(−1) n<br />
n (−1)<br />
= n!·<br />
k<br />
k!<br />
k=0<br />
∞<br />
t<br />
−1<br />
n e −(t+1) dt<br />
=<br />
<br />
= e+ 1<br />
<br />
·n! −⌊e·n!⌋ (voor n ≥ 2)<br />
e<br />
n<br />
<br />
n<br />
= n!− ·!(n−k)<br />
k<br />
k=1<br />
213. Schaakbordcombinatoriek<br />
Het valt op dat e een belangrijke rol speelt in sommige van deze formules. Er geldt namelijk:<br />
n!<br />
lim = e<br />
n→∞ !n<br />
Dit betekent dat de kans dat een willekeurige permutatie tevens een derangement is, ongeveer gelijk is<br />
; hoe groter het aantal elementen, hoe nauwkeuriger. Deze limiet convergeert relatief snel.<br />
aan 1<br />
e<br />
Het enige getal dat de som is van de subfaculteiten van zijn cijfers, is 148349 =!1+!4+!8+!3+!4+!9.<br />
213 Schaakbordcombinatoriek<br />
Permutaties en derangementen zijn gemakkelijk te visualiseren op een schaakbord. De permutatie n!<br />
vormt het aantal manieren waarop n torens kunnen worden geplaatst op een n×n-bord, waarbij geen<br />
enkele toren een andere aanvalt. De mogelijkheden vallen eenvoudig te berekenen door elke permutatie<br />
van {1,2,...,n} te combineren met {a,b,c,...} en zo op het schaakbord te plaatsen. Dus voor n = 4:<br />
0Z0s<br />
Z0s0<br />
0s0Z<br />
s0Z0<br />
0Z0s<br />
Z0s0<br />
rZ0Z<br />
ZrZ0<br />
0Z0s<br />
s0Z0<br />
0ZrZ<br />
ZrZ0<br />
rZ0Z<br />
Z0Zr<br />
0ZrZ<br />
ZrZ0<br />
0ZrZ<br />
Z0Zr<br />
0s0Z<br />
s0Z0<br />
0ZrZ<br />
Z0Zr<br />
rZ0Z<br />
ZrZ0<br />
0ZrZ<br />
s0Z0<br />
0Z0s<br />
ZrZ0<br />
rZ0Z<br />
Z0s0<br />
0Z0s<br />
ZrZ0<br />
0Z0s<br />
ZrZ0<br />
0ZrZ<br />
s0Z0<br />
0Z0s<br />
ZrZ0<br />
rZ0Z<br />
Z0s0<br />
0Z0s<br />
s0Z0<br />
0s0Z<br />
Z0s0<br />
rZ0Z<br />
Z0Zr<br />
0s0Z<br />
Z0s0<br />
0ZrZ<br />
ZrZ0<br />
0Z0s<br />
s0Z0<br />
0ZrZ<br />
ZrZ0<br />
rZ0Z<br />
Z0Zr<br />
0ZrZ<br />
s0Z0<br />
0s0Z<br />
Z0Zr<br />
rZ0Z<br />
Z0s0<br />
0s0Z<br />
Z0Zr<br />
0s0Z<br />
Z0Zr<br />
0ZrZ<br />
s0Z0<br />
0s0Z<br />
Z0Zr<br />
rZ0Z<br />
Z0s0<br />
0s0Z<br />
s0Z0<br />
0Z0s<br />
Z0s0<br />
rZ0Z<br />
ZrZ0<br />
0Z0s<br />
Z0s0<br />
0s0Z<br />
Z0s0<br />
0Z0s<br />
s0Z0<br />
0s0Z<br />
Z0s0<br />
rZ0Z<br />
Z0Zr<br />
0s0Z<br />
s0Z0<br />
0ZrZ<br />
Z0Zr<br />
rZ0Z<br />
ZrZ0<br />
0ZrZ<br />
Z0Zr<br />
De derangementen kunnen op een soortgelijke manier worden gevisualiseerd. !n vormt dan het aantal<br />
mogelijkheden voor n torens om het n×n-bord te bezetten zonder dat twee torens elkaar aanvallen, met<br />
de extra regel dat er geen torens op één van de diagonalen mogen staan. Dus voor n = 4:<br />
137
Change language