Curiosa Mathematica

44. Vermoeden van Collatz
44 Vermoeden van Collatz
Het vermoeden van Collatz, vernoemd naar Lothar Collatz die het probleem voorstelde in 1937, is een
intrigerend open probleem dat ondanks zijn eenvoudige formulering zeer moeilijk op te lossen blijkt, als
het al oplosbaar is. Paul Erdős zei zelfs dat “de wiskunde nog niet rijp was voor zulke problemen” en bood
$500 voor een oplossing. Het probleem staat ook bekend als het vermoeden van Ulam, het vermoeden van
Thwaites, het probleem van Kakutani of het probleem van Syracuse, en de getallen die erin voorkomen
als hagelsteengetallen.
Begin met een willekeurig geheel getal n en pas er herhaaldelijk de volgende functie op toe:
⎧
⎨n
voor n even
f(n) = 2
⎩3n+1
voor n oneven
Uitgevoerd met bijvoorbeeld n = 11 verkrijgen we dit:
11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 → ...
Hier blijkt dat eenmaal op 1 terechtgekomen, het systeem terechtkomt in een cykel 1 → 4 → 2 → 1. Het
vermoeden van Collatz stelt dat elke initiële waarde ooit in deze cykel belandt, zodat er geen patronen
met onbegrensde groei of andere cykels zouden voorkomen. Het vermoeden wordt algemeen als correct
beschouwd, en werd gecontroleerd voor alle n ≤ 19·2 58 ≈ 5,48×10 18 , maar er is nog geen bewijs bekend.
De banen van de verschillende getallen kunnen schematisch worden weergegeven in een boomdiagram
zoals hieronder; we zien inderdaad dat alle knooppunten in deze boom naar de wortel ervan (1) leiden,
en dat er geen niet-triviale cykels voorkomen.
Er is al lichte vooruitgang geboekt: Jeffrey Lagarias bewees dat er geen cykels voorkomen met lengte
kleiner dan 275.000, buiten 1 → 4 → 2 → 1 natuurlijk. Stuart Kurtz en Janos Simon bewezen dat een
natuurlijke generalisatie van de functie f tot een algoritmisch onbeslisbaar probleem leidt; helaas kan
hun bewijstechniek niet toegepast worden op het originele probleem van Collatz, maar de mogelijkheid
bestaat dus dat ook deze onbeslisbaar is.
Een andere leuke manier om de hagelsteengetallen uit te rekenen is via dit algoritme.
• Schrijf het begingetal n binair.
• Schrijf hetzelfde getal eronder, maar met een 1 toegevoegd achteraan (dit geeft 2n+1).
• Tel de twee getallen op (dit geeft 3n+1).
• Schrap elke nul achteraan de som (dit deelt zover als mogelijk door 2) en herhaal vanaf stap 2.
26