Curiosa Mathematica

193. Driehoek van Sierpiński
Er zijn nog veel meer L-systemen te bedenken, voor andere fractalen, maar ook voor bijvoorbeeld Penrosebetegelingen
(zie 146, blz. 87), vlakvullende krommen...
Meer voorbeelden staan op http://www-user.uni-bremen.de/∼schmuhl/fractals/fractal_curves.html.
Uiteraard zijn er vele uitbreidingen en variaties op de Lindenmayersystemen. Zo heb je versies die bepaalde
kansen meegeven in de productieregels (stochastische systemen), andere versies geven parameters
mee (parametrische systemen) en nog andere gebruiken contextsensitieve productieregels, waarbij de
productie van een variabele afhangt van de variabelen errond.
193 Driehoek van Sierpiński
Deze klassieke fractaal werd in 1915 besproken door Pools wiskundige Wacław Sierpiński. De patronen
komen echter al voor in 13 de -eeuwse Italiaanse kunst.
De meest eenvoudige constructie is vertrekken vanuit een gelijkzijdige driehoek, deze te verdelen in vier
kleinere gelijkzijdige driehoeken, het middenste stuk eruit te knippen en deze stappen te herhalen op de
resterende drie stukken. Het limietgeval van dit proces heet men de driehoek of de zeef van Sierpiński. Na
elke stap verkleint het oppervlak van de figuur met een factor 3
4
figuur naar 0 nadert.
121
, zodat het oppervlak van de uiteindelijke