Curiosa Mathematica

33.5 Vermoeden van Oppermann
34. Aritmetisch getal
Deens wiskundige Ludvig Oppermann publiceerde in 1882 een sterker vermoeden dan dat van Legendre,
namelijk dat er voor elk natuurlijk getal n > 1 een eerste priemgetal te vinden is tussen n(n−1) en n 2 ,
en een tweede priemgetal tussen n 2 en n(n+1).
33.6 Vermoeden van Cramér
∀n ∈ N\{0,1} : ∃p1,p2 ∈ P : n(n−1) < p1 < n 2 < p2 < n(n+1)
In 1936 bewees Zweeds wiskunde en statisticus Harald Cramér dat, onder aanname van de Riemannhypothese,
pn+1 −pn = O √
pn ·lnpn . Daaruit vermoedde Cramér een sterker resultaat, namelijk:
33.7 Vermoeden van Firoozbakht
pn+1 −pn = O (lnpn) 2
Farideh Firoozbakht, vrouwelijk wiskundige aan de Universiteit van Isfahan in Iran, vermoedde in 1982
dat de functie n ↦→ n√ pn strikt dalend is. Dit relatief sterke resultaat zou het vermoeden van Cramér
impliceren en blijft onbewezen, hoewel positief bevonden tot 4,444×10 12 .
34 Aritmetisch getal
∀n ∈ N0 : n+1√ pn+1 < n√ pn
pn+1 −pn < lnpn ·(lnpn −1)
Men zou misschien verwachten dat elk geheel getal “aritmetisch” genoemd kan worden, omdat de aritmetica
of rekenkunde nu eenmaal over getallen gaat. Het begrip aritmetisch getal duidt echter die natuurlijke
getallen aan waarvan het rekenkundig gemiddelde van zijn delers, zelf ook natuurlijk is. In het bijzonder
is elk oneven priemgetal aritmetisch.
1,3,5,6,7,11,13,14,15,17,19,20,21,22,23,27,29,30,31,33,35,37,38,39,41,42,43... (OEIS A003601)
De getallen waarvoor deze eigenschap niet geldt worden steeds schaarser; het kan worden aangetoond dat
de aritmetische getallen een asymptotische dichtheid gelijk aan 1 hebben, en dus voldoen aan de volgende
eenvoudige relatie, met A(n) het aantal aritmetische getallen ten hoogste n.
35 Spiraal van Ulam
A(n) ∼ n
Tijdens een wetenschappelijke bijeenkomst in 1963 begon Pools-Amerikaans wiskundige Stanisław Ulam
uit verveling wat te droedelen. Hij tekende een vierkant rooster, nummerde de hokjes spiraalsgewijs
en omcirkelde de priemgetallen in de spiraal. Tot zijn verbazing bleken de priemgetallen zich vooral te
vertonen op diagonale patronen in het rooster, of zoals Ulam het zelf zei, “schenen ze een sterk nietwillekeurig
voorkomen te vertonen”.
19