Curiosa Mathematica

237. Chevalier de Mérés dobbelprobleem
Een algemene oplossing voor n personen blijft een open probleem. Er bestaat nochtans veel interesse
in dit type problemen, door belangrijke toepassingen in communicatietechnologie: zie bijvoorbeeld “de
kleur van de hoed niet kennen” als een bit verliezen in een transmissie, en “de kleur van de hoed raden”
als het herstellen van zo’n bitfouten met hoge waarschijnlijkheid.
237 Chevalier de Mérés dobbelprobleem
Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, was een Frans schrijver, ridder en gokverslaafde. Hij dobbelde
vaak en bedacht zijn eigen gokspelletje: in vier worpen met één enkele dobbelsteen wedde hij op minstens
één gegooide zes. Proefondervindelijk kwam de Méré uit dat dit een rendabele gok was.
Later bedacht hij een variant hierop: hij wedde dat hij in 24 worpen met twee dobbelstenen minstens één
dubbel zes zou gooien. Volgens de Méré zou dit even voordelig moeten zijn: immers, voor één dobbelsteen
is de kans op een zes 1
4
6 , dus voor vier worpen 6 . Analoog, een dubbel zes bij twee dobbelstenen heeft
kans 1
24 4 24
36 , dus voor 24 worpen 36 . Nu is 6 = 36 , dus zouden beide spelletjes op termijn dezelfde winst
moeten opbrengen.
De Méré ondervond uiteindelijk dat zijn tweede spel op lange termijn niet rendabel was. Hij vroeg hulp
aan zijn vriend Blaise Pascal, die hem samen met Pierre de Fermat op een fout in zijn redenering wezen.
De winstkansen moeten namelijk als volgt berekend worden:
4 5
P( bij 4 enkele worpen) = 1−
6
24 35
P( bij 24 dubbele worpen) = 1−
36
≈ 0,5177
≈ 0,4914
Dus inderdaad is de eerste gok lucratiever dan de tweede, die op termijn in verlies resulteert. Toch valt op
dat beide kansen niet ver van de 50% verwijderd liggen; als de Méré deze kansen effectief experimenteel
bepaald heeft, moet hij echt hele dagen aan een stuk hebben zitten dobbelen!
Met deze analyse legden Pascal en Fermat de basis voor de moderne kansrekening.
238 Paradox van Bertrand
Deze klassieke paradox in de kansberekening werd geïntroduceerd door Joseph Bertrand in zijn werk
Calcul des probabilités in 1888, ter illustratie dat wanneer het mechanisme dat de toevalsvariabele bepaalt
niet goed gedefinieerd is, dan ook de kansen niet.
Beschouw een gelijkzijdige driehoek en zijn omgeschreven cirkel. Hoe groot
is de kans dat een willekeurig gekozen koorde van deze cirkel, een grotere
lengte heeft dan de zijde van de driehoek?
158