Curiosa Mathematica

VII Fractalen
Een fractaal is een meetkundige figuur die zelfgelijkend is, dat wil zeggen opgebouwd uit delen die (min
of meer) gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Daardoor bevatten ze een oneindige hoeveelheid details en
steeds herhalende patronen.
De belangrijkste genereermethoden voor fractalen zijn IFS (Iterated Function Systems) en Lindenmayersystemen.
De meest visuele techniek is basis-en-motief, gemakkelijk om te zetten naar een L-systeem.
192 L-systemen en Turtle Graphics
Lindenmayersystemen of L-systemen werden ontwikkeld door theoretisch bioloog en botanicus Aristid
Lindenmayer in 1968, als formele fundering voor een axiomatische benadering van biologische evolutie.
Een Lindenmayersysteem L wordt formeel gedefinieerd als een tupel L = {V,ω,P}.
• Het alfabet V : de verzameling variabelen en constanten.
• Het axioma ω: de tekenreeks, bestaande uit symbolen uit V , die de begintoestand van L definieert.
• De producties P: de verzameling regels die definieren hoe variabelen worden vervangen door combinaties
van V . Voor een symbool A dat wel in V zit maar geen productieregel ondergaat, wordt
A → A verondersteld; zo’n symbool heet een constante.
Het concept is zeer krachtig indien het gecombineerd wordt met de zogenaamde Turtle Graphics. Die
maken gebruik van een tekenreeks, waarin elk symbool voor een welbepaalde grafische handeling staat.
Lindenmayers algen
Met zijn originele L-systeem beschreef Lindenmayer de groei van algen. B stelt een cel in groeifase voor,
die zal groeien tot de reproductietoestand A. Een cel A zal splitsen in twee cellen, één groeitoestand en
één reproductietoestand.
• V : A,B
• ω: A
• P: (A → AB), (B → A)
De productieregels herhaaldelijk toepassen levert op:
A → AB → ABA → ABAAB → ABAABABA → ABAABABAABAAB → ...
De som van het aantal variabelen in elke ‘generatie’ levert Fibonaccigetallen op, en de verhouding A
B
convergeert naar φ. Als we de n de generatie noteren als L(n), dan kun je L(n) als een aaneenschakeling
van de vorige twee generaties schrijven: L(n) = L(n−1)·L(n−2).
Fractalen
Lindenmayersystemen in combinatie met Turtle Graphics kunnen gemakkelijk fractale vormen generenen.
Bij de andere fractalen in dit hoofdstuk wordt waar mogelijk een Lindenmayersysteem vermeld; er bestaan
ook fractals die geboren zijn uit zo’n systeem.
119