Curiosa Mathematica

62. Stelling van Mason-Stother
voorbeeld deze veelterm, die drie wisselingen in de tekens ondergaat en dus ofwel één, ofwel drie positieve
nulpunten heeft:
P(x) = x 7 +x 6 −x 4 −x 3 −x 2 +x−1 (++−−−+−)
Door Descartes’ tekenregel toe te passen op de veelterm P(−x) in plaats van P(x), kan ook het aantal
negatieve wortels gevonden worden.
62 Stelling van Mason-Stother
De stelling van Mason-Stother is de polynomiale (maar vrij eenvoudige) tegenhanger van het abcvermoeden
(zie ??, blz. ??). Ze wordt vernoemd naar Wilson Stothers, die de stelling publiceerde en
bewees in 1981, en R. C. Mason, die hem kort daarna in 1983 herontdekte.
De radicaal van een veelterm P, genoteerd als radP, wordt gedefinieerd als de veelterm met minimale
graad die dezelfde nulpunten heeft als P. Hogere multipliciteiten worden zo uit de veelterm herleid naar
multipliciteit één. De stelling van Mason-Stother beschouwt drie veeltermen over C, A, B en C, die geen
nulpunten gemeenschappelijk hebben (“copriem zijn”) en zodat A+B = C; dan geldt er:
max(degA,degB,degC) ≤ deg(rad(A·B ·C))−1
Merk op dat deg(radP) juist het aantal verschillende nulpunten van P voorstelt. Onvoorstelbaar genoeg
is uit deze stelling op eenvoudige wijze de polynomiale versie van de Laatste Stelling van Fermat (zie
67, blz. 37) te bewijzen! Immers, voor de vergelijking X n +Y n = Z n met X,Y,Z ∈ C[x] en copriem en
n ∈ N geldt wegens Mason-Stother:
degX n ≤ deg(rad(X n ·Y n ·Z n ))−1
De exponenten kunnen vooropgezet of geschrapt worden:
n·degX ≤ deg(rad(X ·Y ·Z))−1
Hetzelfde geldt voor Y en Z. Omdat X, Y en Z geen nulpunten gemeenschappelijk hebben, geldt er
eveneens dat deg(rad(X ·Y ·Z)) = deg(radX)+deg(radY)+deg(radZ). De vergelijkingen voor X, Y
en Z dan optellen geeft:
n·(degX +degY +degZ) ≤ 3(deg(radX)+deg(radY)+deg(radZ))−3
≤ 3(degX +degY +degZ)−3
Beschouw de uiterste leden van deze ongelijkheid. De graad van een veelterm kan slechts positief zijn,
dus moet wel gelden dat n−3 strikt negatief is. Hieruit volgt onmiddelijk dat n niet groter kan zijn dan
2, zoals de Laatste Stelling van Fermat beweert. Helaas is de getaltheoretische variant heel wat minder
triviaal gebleken....
63 Criterium van Eisenstein
Het criterium van Eisenstein geeft een eenvoudige voldoende voorwaarde voor het al dan niet irreducibel
zijn van een veelterm met gehele coëfficiënten over de rationale getallen. Theodor Schönemann was de
eerste die een versie ervan publiceerde, in 1846; Gotthold Eisenstein gaf in 1850 een ietwat andere versie.
Vooral begin 20 ste eeuw stond het criterium dan ook bekend als de stelling van Schönemann-Eisenstein.
Gegeven een veelterm in Q[x] met gehele coëfficiënten:
Q = anx n +an−1x n−1 +...+a1x+a0
36