Curiosa Mathematica

160. Maantjes van Hippocrates
• Een snijpunt van twee geconstrueerde rechten, een rechte en een cirkel, of twee cirkels, geldt als
nieuw geconstrueerd punt.
Elke constructie moet exact zijn en eindigen na een eindig aantal stappen. Het enige wat vereist is om
een geldige passer-en-liniaalconstructie te starten, zijn twee punten met onderlinge afstand 1.
Wanneer de beginpunten abscis 0 en 1 hebben op de reële getallenas, zijn de abscissen van de punten
die op deze manier te construeren zijn, juist die getallen die te bereiken zijn door eindige optellingen,
vermenigvuldigingen of worteltrekkingen vanuit gehele getallen. Deze getallen heten construeerbaar en
vormen een deelveld van R. De verwezenlijking van Gauss’ 17-hoek bijvoorbeeld (zie ??, blz. ??), steunt
op het feit dat het volgende punt construeerbaar is:
cos 2π
17
1 1 √ 1
= − + 17+ 34−2
16 16 16
√ 17+ 1
8
17+3 √ 17−
34−2 √
17−2 34+2 √ 17
Jean-Victor Poncelet suggereerde in 1882 dat er in feite geen passer nodig is voor deze constructies. Jakob
Steiner bevestigde dit met een bewijs in 1833, zolang er een vaste cirkel en diens middelpunt gegeven is.
Twee snijdende cirkels zonder middelpunt voldoen ook, of drie niet-snijdende cirkels zonder middelpunt.
Dergelijke constructies, die uitsluitend een liniaal gebruiken, heten Steinerconstructies.
Misschien nog verwonderlijker is dat het ook met uitsluitend een passer mogelijk is om de construeerbare
punten te construeren, zoals Georg Morh en Lorenzo Mascheroni onafhankelijk van elkaar bewezen. Het
probleem van Napoleon bijvoorbeeld verlangt het middelpunt van een gegeven cirkel via zo’n Mascheroniconstructie
(zonder liniaal) en is moeilijk, maar wel degelijk oplosbaar.
Hier volgt de constructie voor het middelpunt van een lijnstuk zonder gebruik te maken van een liniaal:
160 Maantjes van Hippocrates
De maantjes van Hippocrates ontvlamden bij velen de hoop op een oplossing voor de cirkelkwadratuur.
Hoewel dit probleem onmogelijk is voor de cirkel (zie 174.3, blz. 115), lukt het voor deze maantjes
wel. Hippocrates van Chios, de Oud-Grieks wiskundige die de figuren beschreef, was de eerste die een
systematische en geordende aanpak van de meetkunde verkondigde, in een leerboek genaamd Stoicheia
(Elementen). Het is zeer waarschijnlijk dat Euclides veel uit zijn latere meetkundig opus baseerde op dat
van Hippocrates.
103