Curiosa Mathematica

251 Stelling van Vizing
251. Stelling van Vizing
De vierkleurenstelling (zie 244, blz. 164) gaat in essentie over de kleuring van de toppen in planaire
grafen. Een soortgelijk kleurprincipe kan worden opgesteld voor de bogen; daar mogen bogen die een
top delen niet dezelfde kleur hebben. Het is duidelijk dat het minimum aantal kleuren dan minstens de
maximale graad ∆ van de graaf is. De stelling van Vadim Vizing beweert dat er dan nog ten hoogste één
extra kleur nodig is voor een correcte kleuring van de gehele graaf.
Dit geeft aanleiding tot een indeling in twee klassen: de grafen waarbij ∆ kleuren voldoende zijn, en die
waarbij er ∆+1 nodig zijn. Vizing toonde eveneens aan dat de grafen uit klasse twee zeker drie toppen
moeten hebben met maximale graad. Robin Wilson vermoedde dat het aandeel grafen met n toppen en
meer dan één top met maximale graad, naar 0 nadert voor n → ∞. In samenwerking met Paul Erdős
bewees hij dit in 1977, met als gevolg dat “bijna alle” grafen van de eerste klasse zijn.
252 Matrix-boomstelling van Kirchhoff
Deze stelling van Gustav Kirchhoff beschrijft het aantal opspannende bomen voor een gegeven graaf
via determinanten. Kirchhoff was fysicus en vond in zijn stelling uit 1847 een methode om elektrische
schakelingen en netwerken te onderzoeken. In feite is dit een generalisatie van de formule van Cayley, die
het aantal opspannende bomen in de complete graaf beschrijft (zie 254, blz. 173).
Beschouw de graaf G met n toppen. Construeer de bijhorende Laplaciaanse n×n-matrix L(G) als volgt:
aij = −(aantal bogen tussen top i en top j) voor i = j
L(G) = (aij)n×n met
aij = (aantal bogen rond top i) voor i = j
Deze matrix kan ook worden opgesteld voor een niet-samenhangende graaf of een multigraaf: dubbele
bogen worden dan ook dubbel geteld, maar lussen weggelaten. Uit deze definitie volgt dat de matrix
symmetrisch is en dat de som van elke rij of kolom gelijk is aan nul. Verder is L(G) steeds positiefsemidefiniet
en heeft ze eigenwaarde λ0 = 0; daarenboven is de multipliciteit van deze eigenwaarde het
aantal samenhangende componenten van de graaf G. Tot slot - en dit is belangrijk voor de uiteindelijke
stelling van Kirchhoff - zijn al de minoren van L(G) gelijk in absolute waarde. Een voorbeeld:
b
d
a
c −→
a b c d
⎡ ⎤
a 2 −1 −1 0
b
⎢
⎢−1
4 −2 −1
⎥
⎢ ⎥
c ⎣−1
−2 3 0 ⎦
d 0 −1 0 1
De stelling van Kirchhoff geeft een methode om a.d.h.v. deze matrix het aantal opspannende bomen te
berekenen. Deze zijn juist de maximale bomen zonder cykels, of de minimale bomen die alle toppen
171