Curiosa Mathematica

Een rechte hoek, die dan uit te breiden is naar een volledig vierkant, gaat als volgt:
162 Bollen van Dandelin
162. Bollen van Dandelin
Belgisch wiskundige Germinal Dandelin ontdekte dat meerdere eigenschappen van kegelsnedes in het
vlak, terug te vinden zijn in de driedimensionale kegel zelf. Met deze ontdekking formuleerde Dandelin
eenvoudige bewijzen voor eerder gekende resultaten.
Beschouw een kegel en een vlak dat de mantel ervan snijdt, de top vermijdend; hun doorsnede bepaalt
dan een kegelsnede. De bollen van Dandelin zijn de bollen die zowel de kegel inwendig raken in een cirkel
als het snijvlak. Een ellips zal twee Dandelinbollen hebben, beiden gelegen in dezelfde kegelhelft. Een
hyperbool heeft er eveneens twee maar deze liggen elk in één halve kegel. De parabool ten slotte heeft
maar één Dandelinbol.
P 2
P1 F1 S
F 2
Dandelin toonde aan dat de raakpunten van zijn bollen met het snijvlak, juist de brandpunten van de
kegelsnede zijn. Daarnaast geldt dat de afstand |SF1| in het linkerdiagram gelijk is aan |SP1| (omdat
beide dragers raken aan dezelfde bol) en dat |SF2| gelijk is aan |SP2|. Omdat de afstand |P1P2| niet
wijzigt wanneer de rechte rond de kegel gaat, is ook de som van de afstanden |SF1| + |SF2| constant.
Hetzelfde geldt voor de hyperbool. Bij de parabool rechtsboven zijn de afstanden |SF| en |SP| gelijk.
Ook de richtlijnen van de kegelsneden zijn terug te vinden met behulp van zijn Dandelinbollen. De cirkels
105
P
F
S