Curiosa Mathematica

144. Gauss’ zeventienhoek
Richmans probleem wekte de interesse van zijn vriend John Thomas, die bewees dat een oneven equidissectie
onmogelijk is als de coördinaten van de hoekpunten rationale getallen zijn met oneven noemers. Pas
in 1970 bewees Paul Monsky het algemene geval, in een elegant bewijs dat gebruik maakt van Sperners
lemma (zie 227, blz. 148), 2-adische getallen (zie 45, blz. 27) en een slimme kleuring van het vierkant.
Hieronder staat een opmerkelijke bijna-equidissectie in driehoeken: de 27 stukken hebben allemaal dezelfde
oppervlakte, maar er zit één rechthoek tussen in plaats van een driehoek.
Een generalisatie van de stelling van Monsky stelt dat een n-dimensionale hyperkubus enkel kan worden
onderverdeeld in simplexen met eenzelfde volume als het aantal simplexen een veelvoud is van n!.
144 Gauss’ zeventienhoek
Carl Friedrich Gauss ontdekte op 19-jarige leeftijd dat het mogelijk is een zeventienhoek te construeren
uitsluitend met passer en liniaal. Dit resultaat beschouwde hij als een van zijn grootste ontdekkingen ooit
en daarom, zo gaat het verhaal, vroeg hij een 17-hoek ter decoratie op zijn grafsteen. De beeldhouwer
weigerde echter, omdat zo’n veelhoek niet te onderscheiden zou zijn van een cirkel. Het bewijs van
construeerbaarheid werd ook gegeven in zijn monumentale werk, de Disquisitiones Arithmeticae.
Euclides gaf in zijn Elementen al een constructie voor een regelmatige drie-, vier-, vijf- en zeshoek, maar
de Grieken vonden geen keurige constructie voor een zevenhoek. De vraag drong zich op of algemene
regelmatige n-hoeken wel altijd te construeren waren en indien niet, bij welke n-waarden. Gauss gaf een
volledig antwoord op deze vraag. Als voldoende voorwaarde is een n-hoek te construeren met passer
en liniaal als n een product is van verschillende Fermatpriemgetallen (zie 58, blz. 34) vermenigvuldigd
met een factor 2 k . Hij stelde dat dit ook een nodige voorwaarde is, maar publiceerde hiervan nooit een
bewijs. In 1837 gaf Pierre Wantzel een volledig bewijs, zodat men vandaag spreekt over de stelling van
Gauss-Wantsel.
Een eenvoudige constructie voor de regelmatige vijfhoek:
Gauss zelf toonde uitsluitend het theoretische resultaat aan voor zijn zeventienhoek. De eerste expliciete
constructie werd gegeven door Johannes Erchinger in 1825; het volgende stappenplan is van de hand van
Herbert Richmond, 1893:
85