Curiosa Mathematica

161. Luciferconstructies
Er is slechts één fragment overgeleverd uit de oorspronkelijke Stoicheia, en daarin wordt de oppervlakte
berekend van de maantjes van Hippocrates. Deze maantjes worden begrensd door twee cirkelbogen,
waarvan de grootste een diameter heeft die een rechte hoek maakt met de kleinste:
Hippocrates toonde aan dat zijn maantje dezelfde oppervlakte heeft als de driehoek tussen de diameter
en de rechte hoek van daarnet, in het diagram hierboven gekleurd weergegeven.
Naar de Arabische Alhazen vernoemd zijn de volgende maantjes, die een veralgemening geven van de
originele van Hippocrates. Deze twee maantjes hebben samen dezelfde oppervlakte als de driehoek.
Ook deze maantjes zijn samen even groot als de gehele driehoek.
161 Luciferconstructies
In 1939 bewees Thomas Dawson een alternatieve manier om de construeerbare punten te bereiken. Hij
toonde aan dat alle punten te vinden met passer-en-liniaal (zie 159, blz. 102), en geen andere punten,
ook te vinden zijn via luciferconstructies. Dawsons spelregels zijn als volgt, met lucifers van lengte 1:
• Een lucifer mag zo geplaatst worden dat die door een geconstrueerd punt gaat, of met zijn uiteinde
aan een geconstrueerd punt.
• Lucifers door twee geconstrueerde punten kunnen enkel geplaatst worden als de afstand ertussen
ten hoogste 1 is.
• Lucifers mogen niet overlappen, i.e. maximaal één punt gemeenschappelijk hebben.
• Als een punt dicht genoeg ligt bij een geconstrueerde lijn, kan een lucifer zodanig geplaatst worden
met z’n ene uiteinde op het punt en z’n andere uiteinde op de lijn.
• Twee lucifers kunnen samengelegd worden tot een gelijkbenige driehoek, waarbij twee van hun
uiteinden samenvallen en de andere twee op geconstrueerde punten liggen waartussen de afstand
kleiner dan 2 is.
De derde regel dient om te voorkomen dat lijnstukken al te gemakkelijk verlengd kunnen worden. Net
als met passer-en-liniaalconstructies zijn er twee initiële punten nodig, die hier op een afstand van elkaar
kleiner dan 1 moeten liggen.
De volgende constructie bepaalt het middelpunt van een lijnstuk.
104