Curiosa Mathematica

105 Formule van Wallis
105. Formule van Wallis
Dit product, gevonden door John Wallis in 1655, volgt uit deze voorstelling van de sinusfunctie.
De waarde x = π
2
sinx = x·
∞
n=1
1− x2
π 2 n 2
invullen geeft aanleiding tot deze formule, die π uitdrukt als een oneindig product.
π
2 =
2·2
·
1·3
4·4
·
3·5
6·6
·
5·7
8·8
·
7·9
10·10
...
9·11
Verrassend genoeg convergeert dit product naar een totaal ander resultaat wanneer elke tweede factor
geschrapt wordt!
√ 2·2 6·6 10·10 14·14 18·18
2 = · · · · ...
1·3 5·7 9·11 13·15 17·19
106 Een, twee, drie, π
Een eenvoudige, maar bekoorlijke vergelijking, met eenvoudig bewijs:
107 Hoorn van Gabriël
Bgtan1+Bgtan2+Bgtan3 = π
De hoorn van Gabriël is een bizarre meetkundige entiteit, voor het eerst beschreven door Evangelista
Torricelli en daardoor ook de trompet van Torricelli genoemd. De eerste naam verwijst naar de aartsengel
Gabriël, die de hoorn blaast op de Dag des Oordeels, en associeert het goddelijke (of oneindige) met het
om de x-as te wentelen, beperkt tot
het domein x ≥ 1 om de asymptoot op x = 0 te vermijden. Het resultaat is deze oneindig lange figuur.
eindige. Ze wordt gevormd door de grafiek van de functie f(x) = 1
x
Torricelli wist van deze figuur het volume en de oppervlakte te berekenen met behulp van het principe
van Cavalieri, maar dit gaat eenvoudiger met de later ontdekte, analytische formules voor omwentelingslichamen
en -oppervlakken. De oppervlakte van de hoorn, beperkt tot x ∈ [1,a] wordt:
A = 2π
1
a
2
df(x)
f(x) 1+ dx = 2π
dx
59
1
a
1+ 1
x 4
x
dx > 2π
1
a
dx
x
= 2πlna