Curiosa Mathematica

17. Juzuks vierdemachtsgroepjes
In deze lijst van alle perfecte machten (natuurlijke getallen n k met n,k ∈ N,k > 1) betekent dat dus dat
8 en 9 het enige paar opeenvolgende getallen vormen.
1,4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,100,121,125,128,144,169,196,216,225,243,256... (OEIS A001597)
Belangrijke vooruitgang werd geboekt door Robert Tijdeman, die bewees dat het aantal oplossingen
steeds eindig is en een bovengrens gaf. Catalans vermoeden werd uiteindelijk in 2002 (na bijna 160 jaar)
volledig bewezen door Preda Mihăilescu, en wordt sindsdien soms de stelling van Mihăilescu genoemd.
17 Juzuks vierdemachtsgroepjes
In 1939 stelde Dov Juzuk een interessante manifestatie van de vierdemachten vast. Schrijf de natuurlijke
getallen op in groepjes, van één, twee, drie... getallen, en schrap elk tweede groepje:
1, 2,3, 4,5,6, 7,8,9,10, 11,12,13,14,15, 16,17,18,19,20,21, ...
De som van de eerste n resterende groepjes is dan gelijk aan n 4 .
18 Fareysequenties
In 1816 werd een artikel gepubliceerd in het Philosophical Magazine, afkomstig van geoloog John Farey,
over wat nu bekendstaat als de Fareysequenties. Farey kreeg de ingeving om alle breuken a
b tussen 0 en 1,
die niet verder vereenvoudigd kunnen worden en waarbij b kleiner is dan een bepaald getal, in stijgende
volgorde op te schrijven. Dit geeft:
F1 = 0
1 ,
F2 = 0
1 ,
F3 = 0
1 ,
F4 = 0
1 ,
F5 = 0
1 ,
... = ...
1
1
1
2 ,
1
3 ,
1
4 ,
1
5 ,
1
1
1
2 ,
1
3 ,
1
4 ,
Merk op dat breuken niet kunnen worden opgeteld zoals ze worden vermenigvuldigd: a
b
bewerking resulteert niet in de som, maar in de zogenaamde mediant, als volgt gedefinieerd.
2
3 ,
1
2 ,
1
3 ,
1
1
2
3 ,
2
5 ,
3
4 ,
1
2 ,
a c a+c
⊕ =
b d b+d
1
1
3
5 ,
2
3 ,
3
4 ,
4
5 ,
1
1
+ c
d
a+c = b+d . Deze
Het viel Farey op dat in zijn bovenstaande sequenties elke term de mediant is van zijn twee buren, zonder
dat hij dit kon bewijzen. Augustin-Louis Cauchy gaf hiervan een bewijs in zijn Exercises de Mathématique,
waarin hij zijn inspiratie toeschreef aan Farey. Eerder al, in 1802, werd echter een soortgelijk resultaat
gepubliceerd door Charles Haros, zonder dat iemand het was opgevallen.
Er zitten nog meer eigenschappen verborgen in de Fareysequenties. Zo kan de lengte van Fn, genoteerd
als |Fn|, recursief worden uitgedrukt door middel van Eulers totiëntfunctie ϕ(n) (zie 11, blz. 5):
|Fn| = |Fn−1|+ϕ(n)
8