Curiosa Mathematica

164 Vermoeden van Toeplitz
B ′
C
S
A ′
A
C ′
B
164. Vermoeden van Toeplitz
In 1911 gaf Otto Toeplitz een opmerkelijk eenvoudig te verwoorden, maar lastig op te lossen probleem.
Bevat elke Jordankromme (een gesloten, continue lus in het vlak) vier punten
die de hoekpunten van een vierkant vormen?
Welbepaalde figuren (zoals vierkanten en cirkels), bevatten oneindig veel zulke vierkanten; andere (zoals
een stomphoekige driehoek) juist één. Een eerste doorbraak voor het algemene geval kwam in 1913 al,
toen Arnold Emch het vraagstuk affirmatief beantwoordde voor convexe figuren. Emch verbeterde zijn
resultaat twee jaar later, toen hij aantoonde dat het vermoeden klopt voor een kromme die uit eindig
veel analytische stukjes opgedeeld kan worden.
Lev Schnirelmann gaf een bewijs voor krommen uit C 2 , die twee maal afleidbaar zijn en een continue
tweede afgeleide hebben. Schnirelmanns bewijs bevatte echter een fout, maar werd gecorrigeerd door
Heinrich Guggenheimer. Walter Stromquist versoepelde deze eis in 1989 tot eenmaal afleidbaar zijn.
Het beste resultaat tot nog toe bekend werd eveneens gegeven door Stromquist, die aantoonde dat een
kromme zeker een vierkant omschrijft als ze lokaal monotoon is, d.w.z. lokaal kan worden weergegeven
als een functie f(x). Technischer betekent dit dat voor elk punt P op de kromme er een omgeving
moet bestaan zodat geen enkele koorde in deze omgeving evenwijdig is met een rechte in een bepaalde
richting (de “y-as”). Deze voorwaarde is duidelijk nogal omslachtig voor zo’n eenvoudig probleem, maar
eenvoudigere criteria zijn er niet bekend.
Het specifieke geval waarbij de kromme centraal symmetrisch is, werd wel al bevestigd.
107