Curiosa Mathematica

286. P vs. NP
De publieke sleutel, die aan iedereen bekend gemaakt wordt, bestaat dan uit de modulusnen de encryptieexponent
e, terwijl de private sleutel, die geheim gehouden wordt, bestaat uit de modulus n en de
decryptie-exponent d. De overige getallen hebben geen verder nut meer, maar mogen niet publiek gemaakt
worden omdat d eenvoudig uit deze waarden te berekenen is.
Om een boodschap te versleutelen, moet die eerst worden omgezet in een getal m kleiner dan n, via een
afgesproken padding scheme. Dit kan bijvoorbeeld door a te versleutelen als 01, b als 02 etc. Wanneer
m groter zou zijn dan n, moet de boodschap in meerdere stukken opgesplitst worden. Daarna wordt m
versleuteld tot c met behulp van de publieke sleutel (n,e) van de ontvanger:
c = m e
(mod n)
Er zijn efficiënte methodes gekend om zo’n modulaire machtsverheffing uit te voeren, dus deze stap neemt
weinig tijd in beslag. De ontvanger vindt de originele boodschap m dan terug via zijn geheime d:
m = c d
(mod n)
Beschouw als voorbeeld de waarden p = 62.987 en q = 35.401. Dan is n = 2.229.802.787 en ϕ(n) =
2.229.704.400. Kiezen we dan e = 17, dan is d = 1.836.227.153. Een boodschap m = 1234 wordt dan
versleuteld tot c = m e (mod n) = 890.560.568. Willen we nu m terugvinden uit c, berekenen we m = c d
(mod n) = 1234. In praktische toepassingen worden de priemgetallen natuurlijk veel groter gekozen.
Enkele beveiligingslekken zijn mogelijk voor specifieke gevallen, maar in het algemeen is het zeer lastig een
via RSA gecodeerde boodschap te kraken. Situaties waarin RSA-versleuteling minder secuur is, treden
bijvoorbeeld op wanneer p en q te dicht bij elkaar liggen, p−1 of q−1 voornamelijk kleine priemfactoren
heeft, of d te klein is.
Martin Gardner beschreef het RSA-systeem in zijn column Mathematical Games in de Scientific American
van augustus 1977. Daarbij presenteerde hij een boodschap gecodeerd door de ontwerpers van RSA, met
de uitdaging die te kraken.
n = 114.381.625.757.888.867.669.235.779.976.146.612.010.218.296.721.242.362.562.561.842.935.
706.935.245.733.897.830.597.123.563.958.705.058.989.075.147.599.290.026.879.543.541
e = 9007
c = 96.869.613.754.622.061.477.140.922.254.355.882.905.759.991.124.674.319.874.695.120.930.
816.298.225.145.708.356.931.476.622.883.989.628.013.391.990.551.829.945.157.815.154
Pas in 1994 vonden Derek Atkins, Michael Graff, Arjen Lenstra en Paul Leyland via een gemeenschappelijk
computerproject, waarin 600 vrijwilligers rekenkracht van 1600 computers bundelden, na zes maanden
de oorspronkelijke woorden:
286 P vs. NP
The magic words are squeamish ossifrage
Dit probleem wordt algemeen beschouwd als een van de belangrijkste open kwesties van dit moment,
waarvan de oplossing de toekomstige loop van de wiskunde en informatica drastisch zou kunnen veranderen.
P vs. NP behoort tot de zeven Millenniumproblemen, waarvoor een prijs van een miljoen dollar
te wachten staat voor diegene die het probleem kan oplossen. Nogal filosofisch gesteld, komt het neer op
de vraag: “Kan intelligentie geluk vervangen?”
195