Curiosa Mathematica

96. Lamberts W-functie
herleidt de vergelijking zich tot lnx = vx β , waarvan de oplossing kan worden gegeven door middel van
Lamberts W-functie, ook bekend als de Omegafunctie.
De W-functie wordt gedefinieerd als de inverse functie van f(x) = x·e x , dus:
De vergelijking lnx = vx β heeft dan als oplossing:
W(x) = y ⇔ y ·e y = x
x = exp − W(−vβ)
= −
β
W(−vβ)
1
β
vβ
Wanneer we W(x) beperken tot reële functiewaarden, wordt het domein ervan [−1 e ,+∞[; voor andere
originelen x wordt W(x) complex.
Ondanks dat de functie niet te schrijven is door middel van elementaire functies, blijken de differentiaal
en integraal van W(z) relatief elegant te zijn. De afgeleide in 0 is 1, die in −1 e is niet gedefinieerd.
dW(z)
dz =
W(z)
voor z /∈ 0,−
z ·(1+W(z)) 1
, W(z)dz = z · W(z)−1+
e
1
W(z)
Enkele bijzondere waarden van de W-functie zijn:
W(0) = 0
W(e) = 1
W(− 1
) = −1
e
W(− π π
) =
2 2 i
W(− lna
) = −lna
a
voor 1
≤ a ≤ e
e
W(1) = Ω ≈ 0,5671432904097838729999686622...
Over de laatste constante, Ω of 0,56714..., valt veel te zeggen. Ze is transcendent, wordt ook wel de
gulden snede der exponentiëlen genoemd en wordt gekenmerkt door volgende eigenschappen.
Ω = e −Ω = −lnΩ =
⎛
⎝
+∞
−∞
dx
(e x −x) 2 +π 2
⎞
⎠
−1
−1 = (−e) (−e)(−e)...
Tot slot kan W(z) snel numeriek berekend worden door dit iteratieproces, met startwaarde u0:
un+1 = un − un ·e un −z
un ·e un +e un,
54
lim
n→∞ un = W(z)