Curiosa Mathematica

146 Tegelpatroon van Penrose
146. Tegelpatroon van Penrose
Periodieke betegelingen, die translatiesymmetrie vertonen, zijn triviaal te construeren. Niet-periodieke
zijn lastiger, zeker als de tegels allemaal dezelfde vorm en grootte moeten hebben, maar het eenvoudigst
is daarbij een spiraalpatroon te ontwerpen, vanuit een centraal punt vertrekkende. Dit gaf aanleiding tot
de volgende vraag:
Bestaat er een verzameling tegels zodat die het vlak enkel niet-periodiek betegelen?
Geen enkele vorm uit deze verzameling, noch een deelverzameling,
noch de volledige verzameling mag een periodieke betegeling kunnen vormen.
Zo’n verzameling wordt nu aperiodiek genoemd. Lange tijd geloofden wiskundigen dat aperiodieke verzamelingen
niet bestonden; zelfs twee tegels van Voderberg (zie 129, blz. 75) kunnen naast elkaar gelegd
worden tot een achthoek, die een periodieke betegeling toelaat. In 1961 groeide de interesse in dit probleem,
toen Hao Wang het dominoprobleem (zie 315.2, blz. 236) introduceerde. Wang vermoedde dat er
geen aperiodieke verzameling van zijn domino’s bestond, waaruit zou volgen dat het probleem beslisbaar
was. In 1966 echter bewees Robert Berger dat het betegelingsprobleem in feite onbeslisbaar is voor alle
vlakke tegels, waarmee hij impliciet het bestaan van aperiodieke tegelsystemen bewees. Berger vond een
verzameling van 20.426 tegels; dit kon de latere jaren wel drastisch teruggebracht worden. Meer informatie
over Wangdomino’s staat bij 315.2, blz. 236.
Roger Penrose bedacht echter een esthetischer systeem, gebaseerd op vijfhoeken i.p.v. vierkanten. Zijn
eerste versie bestond uit zes tegels, die hij heeft weten te herleiden naar twee. Samen met John Conway
onderzocht hij de verscheidene eigenschappen ervan, die daarna werden gepopulariseerd door Martin
Gardner in zijn “Mathematical Games” in de Scientific American. De twee stukken worden bekomen
door de lange diagonaal van een ruit, met hoeken van 72 ◦ en 108 ◦ , te verdelen volgens de gulden snede.
Verbind dan dit punt met de andere hoekpunten. Een cirkelboog zoals hieronder, met een hoekpunt als
centrum, werkt ook.
Het resultaat zijn twee tegels, door Conway aangeduid als “vliegers” (kites) en “pijlpunten’ (darts). Om
te voorkomen dat de stukken terug in elkaar worden gezet als de oorspronkelijke ruit (die een periodieke
betegeling zou toelaten), worden er nog bogen aangebracht, die doorlopend moeten blijven wanneer tegels
aan elkaar worden gelegd.
87