Curiosa Mathematica

290. Knopen
aan dat twee knopendiagrammen die horen bij dezelfde knoop, in elkaar om te zetten zijn door een serie
van de volgende drie elementaire bewegingen.
• Verwijder een kink in een lus of voeg er één toe:
• Haal een lus volledig over een andere heen:
←→
←→
• Beweeg een lus over of onder een bestaande kruising:
Deze Reidemeisterbewegingen maken het mogelijk aan te tonen dat twee knopendiagrammen effectief
dezelfde knoop representeren, maar het blijft lastig aan te tonen dat er geen eindige serie van deze
bewegingen bestaat om te bewijzen dat twee knopen verschillen.
290.3 Driekleurbaarheid
Een eenvoudige invariant waarmee knopen kunnen worden onderscheiden van triviale knopen is driekleurbaarheid.
Dit houdt in dat er een kleuring van de strengen moet bestaan met drie kleuren, waarbij de
drie strengen rond elke kruising ófwel allemaal dezelfde, ófwel allemaal verschillende kleuren hebben.
Zoals eenvoudig gecontroleerd kan worden, blijft deze eigenschap behouden onder Reidemeisterbewegingen,
zodat driekleurbaarheid onafhankelijk is van het beschouwde diagram. Als concreet gevolg hiervan
kan een driekleurbare knoop geen triviale knoop zijn, omdat de triviale knoop niet driekleurbaar is. Veel
verdere praktische toepassingen heeft deze invariant echter niet.
Uit driekleurbaarheid volgt eveneens dat de klaverbladknoop de kleinst mogelijke niet-triviale knoop is.
De twee oriëntaties zijn wel degelijk verschillend (of enantiomorf); de linker- en rechtervariant zijn niet
verbonden door een serie Reidemeisterbewegingen.
290.4 Samengestelde en priemknopen
Er bestaat een boeiende operatie op knopen, die een mooi verband legt met priemgetallen. De samenstelling
of som van twee knopen (traditioneel genoteerd met #) creëert een nieuwe knoop als volgt, door
de twee gegeven knopen elk in een boog door te knippen en deze eindpunten onderling te verbinden.
202
←→