Curiosa Mathematica

169. Stelling van Monge
w
Beschouw de rechte y = mx+q en het punt A(a1,a2). Voor elk punt op de parabool geldt per definitie
dat de afstand tot het punt A gelijk is aan de afstand tot de rechte. De eerste afstand is |x−a1|+|y−a2|
onafhankelijk van de rechte; de tweede afstand wordt in het geval dat |m| ≤ 1 gegeven door de verticale
afstand|y −(mx+q)|, of in het geval dat|m| ≥ 1 door de horizontale afstand
y−q
x−
m . Dus de algemene
vergelijking heeft deze twee gedaantes:
⎧
⎪⎨ |x−a1|+|y −a2| = |y
−(mx+q)|
voor |m| ≤ 1
⎪⎩ |x−a1|+|y −a2| =
y −q
x−
m voor |m| ≥ 1
|x|+|y −6| = y − x
|x−3|+|y −6| =
y −4
2
x−
2
Zelfs taximeetkundige driehoeken verkrijgen bizarre trekjes: ∆ABD hieronder is rechthoekig en heeft
zijdelengtes 6, 6 en 12, terwijl ∆BCD eveneens rechthoekig is en zijden 6, 6 en 6 heeft (een rechthoekige
gelijkzijdige driehoek!). Het congruentiekenmerk zijde-hoek-zijde gaat dus niet op.
169 Stelling van Monge
A
C
h
B D
Beschouw drie cirkels in een vlak, met verschillende stralen en niet in elkaar bevat, en construeer van elk
paar cirkels de twee gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen. De stelling van Monge, vernoemd naar
Gaspard Monge, stelt dat de snijpunten van deze koppels raaklijnen collineair zijn.
112