Curiosa Mathematica

118. Omschreven veelhoeken
De eersten die deze limietwaarde trachtten te berekenen waren Edward Kasner en James Newman in
1940, in hun boek Mathematics and Imagination; zij bekwamen een waarde van ongeveer 12. Vreemd
genoeg werd dit voor lange tijd als correct aangenomen, totdat Christoffel Bouwkamp dit resultaat pas
in 1965 weerlegde en de correcte waarde van ongeveer 8,7000 gaf!
De omgeschreven straal Rn en de ingeschreven straal rn van de regelmatige n-hoek in deze constructie
kan als volgt berekend worden, in functie van de zijdelengte s.
Rn = s
2 ·csc
π
, rn =
n
s
2 ·cot
π
,
n
Rn
rn
π
= sec
n
De aldus beschouwde limietwaarde K kan dan als volgt bepaald worden, vertrekkende vanuit een cirkel
met eenheidsstraal (dus r3 = 1).
∞ ∞
Rk π
K = = sec
k
Dit product convergeert naar 8,700036625208194503... en staat in OEIS A051762.
k=3
rk
Omgekeerd, wanneer een driehoek wordt getekend binnen een eenheidscirkel, daarna zijn ingeschreven
cirkel met daarin een vierkant, enzoverder met de verdere regelmatige n-hoeken, dan convergeert de straal
van deze cirkels naar de inverse van K.
70
k=3