Curiosa Mathematica

226. Stelling van Van der Waerden
In een partiële orderelatie kunnen er koppels optreden die niet te vergelijken zijn, zoals 5 en 12 in het
voorbeeld hierboven. Een verzameling van zulke onderling onvergelijkbare elementen, heet een antiketen
(zoals {6,8,10,15}), terwijl een keten een verzameling elementen is die wel onderling te vergelijken zijn
(zoals {1,2,12,60}).
De stelling van Dilworth, vernoemd naar Robert Dilworth (1950), stelt nu dat de maximale lengte van
een antiketen gelijk is aan het minimale aantal ketens, nodig om alle elementen te bedekken. Deze
gemeenschappelijke waarde heet de breedte van de partiële orderelatie.
Het is daarenboven waar dat de maximale lengte van een keten gelijk is aan het minimale aantal antiketens
die de hele verzameling bedekt. Deze waarde heet de hoogte van de relatie. Dit gerelateerde resultaat
wordt de stelling van Mirsky genoemd, naar Leon Mirsky (1971).
De stellingen kunnen als volgt gereformuleerd worden: een partiële orderelatie op ab+1 elementen bevat
een keten van lengte a+1 of een antiketen van lengte b+1.
226 Stelling van Van der Waerden
Voor elke gegeven gehele getallen k en r bestaat er een welbepaald getal N zodanig dat wanneer de
getallen {1,2...N} elk gekleurd worden in een van r verschillende kleuren, het bestaan van k getallen
die een rekenkundige rij vormen en dezelfde kleur hebben, verzekerd is. De kleinste N die hieraan voldoet
heet het Van der Waerdengetal W(r,k).
Voor k = 3 en r = 2 is N zeker groter dan 8, want er bestaat een 2-kleuring die geen drie getallen bevat
die dezelfde kleur hebben en een rekenkundige rij vormen. Het blijkt dat 9 de kleinste waarde is waarvoor
er wél steeds een rekenkundige rij gevonden kan worden, dus W(2,3) = 9.
1 2 3 4 5 6 7 8
Nog maar weinig Van der Waerdengetallen zijn gekend. Er zijn prijzen gezet op terugbrengingen van de
immense best gekende bovengrens, aangetoond door Timothy Gowers, naar een “redelijke” functie.
W(r,k) ≤ 2 2r22k+9
Dit resultaat uit de Ramseytheorie wordt vernoemd naar Nederlands wiskundige Bartel van der Waerden,
die in 1927 het vermoeden van Baudet ermee bewees. Dit vermoeden stelde dat wanneer C1∪C2∪...∪Cn
gelijk is aan N, er dan een Ci is die willekeurig lange rekenkundige voortzettingen bevat.
227 Sperners lemma
Emanuel Sperner bewees deze combinatorische versie van Brouwers dekpuntstelling (zie 294, blz. 208) in
1928. Het lemma vindt concrete applicaties in berekeningen van dekpunten of wortels van functies.
In één dimensie is het lemma een discrete variant van de tussenwaardestelling en betekent deze in essentie
dat een discrete functie die enkel de waarden 0 en 1 aanneemt, een oneven aantal keren moet wisselen.
De tweedimensionale variant is het bekendst. Verdeel een driehoek in kleinere driehoeken zoals op de
figuur; de enige voorwaarde is dat alle toegevoegde punten moeten verbonden zijn met alle mogelijke
punten in zijn omgeving zonder zijden te kruisen. Kleur dan de drie hoekpunten van de oorspronkelijke
148