Curiosa Mathematica

291. Surreële getallen
• V(K) = P(K)
• ∇(K) = P(K)
1 −1
α=t−1 ,z=t2−t 2
α=1,z=t
Tot nog toe is de Homfly-veelterm de krachtigste knoopinvariant, ondanks het feit dat er hele families
verschillende knopen bestaan met dezelfde Homfly.
290.8 Andere invarianten
290.9 Seifertoppervlakken
291 Surreële getallen
Zoals de naam al aangeeft, vormen surreële getallen een uitbreiding van de reële getallen, in de zin dat
ze ook allerlei infinitesimalen kunnen uitdrukken. Nieuwe getallen worden geconstrueerd vanuit eerdere
via een oneindige reeks tussenstappen, gefundeerd op de ledige verzameling. John Conway ontwikkelde
het systeem tijdens onderzoek naar wiskundige spellen (i.h.b. Hackenbush; zie 343, blz. ??), maar de
benaming “surreële getallen” werd ingeblikt door Donald Knuth, die ze introduceerde in een fictienovelle
genaamd Surreal Numbers: how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness.
Surreële getallen worden vrij eigenaardig gedefinieerd als een tweetal verzamelingen van surreële getallen.
Deze twee verzamelingen worden de linker- en rechterverzameling L en R genoemd en het nieuwe getal
wordt genoteerd als {L|R}. Als bijkomende eis in de recursieve definitie mag geen enkel element uit R
kleiner dan of gelijk aan een element uit L zijn.
Maar ook “kleiner dan of gelijk aan” wordt bij surreële getallen recursief herinterpreteerd: een getal x is
kleiner dan of gelijk aan een getal y als en slechts als y kleiner dan of gelijk aan geen enkel element van
de linkerverzameling van x is, en geen enkel element van de rechterverzameling van y kleiner dan of gelijk
aan x is. Uit deze relatie ≤ worden de andere relaties ≤, ≥, ≥, = en = gebaseerd zoals gewoonlijk.
Op dit moment kennen we nog geen surreële getallen, dus zijn we genoodzaakt er één te construeren
waarvoor L en R de ledige verzameling zijn. Deze {φ|φ} voldoet triviaal aan de extra eis in de definitie,
en we noemen dit getal 0. Met dit eerste surreële getal kunnen we nieuwe getallen construeren, zoals
{{0}|φ}. Om de notatie licht te houden, worden φ’s en extra accolades weggelaten, dus schrijven we
simpelweg {0|}. Er blijkt dat dit nieuwe getal goed gedefinieerd is, en daarenboven {0|} ≤ {|}, terwijl
{|} ≤ {0|}. We hebben dus wel degelijk een verschillend getal gevonden, dat we noteren als −1. Analoog
vinden we {|0} oftewel 1. Het getal {0|0} schendt echter de voorwaarde in de definitie en is dus geen
deugdelijk surreëel getal, maar wordt een pseudogetal genoemd. Aldus wordt het systeem steeds verder
uitgebreid met nieuwe surreële getallen, hoewel niet elke nieuwe samenstelling een nieuwe waarde geeft.
Er geldt bijvoorbeeld dat {−2,−1|} = {−1|} = 0 = {|1}: om een waarde te bepalen, volstaat het om het
grootste element in L en het kleinste in R te kennen.
Het is duidelijk dat surreële getallen in generaties geconstrueerd worden: S0 bevat enkel 0, en de volgende
generaties Sn (met n eender welk ordinaalgetal; zie 317, blz. 237) alle surreële getallen gegenereerd via
de constructieregel uit eerdere generaties.
• S0 = {0}
• S1 = {−1 < 0 < 1}
• S2 = {−2 < 1 < − 1
2
• S3 = {−3 < −2 < − 3
2
< 0 < 1
2
< 1 < 2}
< −1 < −3
4
< −1
2
1 1 3 3
< −1
4 < 0 < 4 < 2 < 4 < 1 < 2 < 2 < 3}
206