Curiosa Mathematica

91. Gammafunctie Γ(x)
e wordt eveneens gegeven door deze ongewone limiet.
(n+1) n+1
e = lim
n→∞ nn n
−
n
(n−1) n−1
Er bestaan tevens verschillende oneindige producten voor e, zoals deze van Eugène Catalan uit 1873:
e = 2
1 ·
4 4 6·8 8 10·12·14·16
· ·
3 5·7 9·11·13·15 ·...
Dit product convergeert echter extreem traag, net als deze gelijkaardige formule, het product van Pippenger.
2 4 2·4 8 4·6·6·8
e = 2· · ·
1 3·3 5·5·7·7 ·...
Nog een andere methode is via deze recursieve rij:
u1 = 1, un+1 = (n+1)·(un +1),
∞ un +1
e =
e heeft nog veel meer prachtige eigenschappen. Zo kun je in het rekenkundig gemiddelde An en het
meetkundig gemiddelde Gn van de eerste n natuurlijke getallen een relatie vinden met e.
An = 1+2+3+...+n
, Gn =
n
n√ An
1·2·3·...·n, lim
n→∞ Gn
En zelfs bij priemgetallen p komt e om het hoekje kijken, hoewel ook deze convergentie zeer traag gaat:
⎛
lim ⎝
⎞
n√
p⎠
= e
n→∞
Bij de kettingbreuken (zie 22, blz. 10) staan nog enkele mooie e-formules.
91 Gammafunctie Γ(x)
p≤n
De faculteitsfunctie n! wordt gedefinieerd als het product van alle positieve gehele getallen kleiner dan of
gelijk aan n, waarbij n een positief geheel getal is. Faculteit kan ook recursief gedefinieerd worden.
n
1 als n = 0
n! = k of n! =
n·(n−1)! als n > 0
k=1
Uit beide definities volgt dat 0! = 1. De faculteiten vormen de rij:
1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800,39916800,479001600,6227020800... (OEIS A000142)
Faculteiten komen zeer vaak voor in combinatoriek en in reeksontwikkelingen. Vanwege hun grote belang
probeerde men het domein van de faculteitsfunctie uit te breiden van N naar R of zelfs C. Met andere
woorden, men zocht de oplossing van volgend interpolatieprobleem:
Zoek een gladde functie (een functie die willekeurig vaak differentieerbaar
is) die de punten (x,y) verbindt, waarbij y = (x−1)! voor gehele getallen x ≥ 1.
Hoewel er oneindig veel grafieken als veralgemening van n! kunnen dienen, is de gammafunctie analytisch
en in praktijk de meest handige. De notatie Γ(z) danken we aan Legendre. Γ(z) is ook gedefinieerd op
complexe getallen, de negatieve gehele getallen (inclusief 0) uitgezonderd, waar de functie divergeert.
Γ(z) =
∞
0
50
t z−1 e −t dt
n=0
un
= e
2