Curiosa Mathematica

329. Vlechtgroepen
O
P
−P
O
Nu is ook duidelijk waarom het snijpunt in de constructie nog eens gespiegeld moet worden: als dat niet
het geval was, zou de optelling P+O als resultaat −P geven, en is niet voldaan aan het identiteitsaxioma.
Algebraïsch komt de optelling van een punt (xP,yP) met een punt (xQ,yQ) neer op de volgende formules:
xP+Q = s2 −xP −xQ
met s =
yP+Q = yP +s(xP+Q −xP)
yP −yQ
xP −xQ
Verdubbeling van een punt (xP,yP) gaat analoog. De term a is hier de coëfficiënt van x in de vergelijking
van de elliptische kromme.
x2P = s2 −2xP
met s =
y2P = yP +s(x2P −xP)
3x2 P −a
2yP
Punten met rationale coördinaten op de kromme geven ook een rationale som, zodat deze punten een
deelgroep vormen. De stelling van Mordell-Weil, vernoemd naar Louis Mordell en André Weil, stelt dat
deze deelgroep een eindig aantal generatoren heeft; elk rationaal punt is te bereiken vanuit optellingen
van een eindige groep rationale punten.
Een concrete toepassing van de groepenwet op elliptische krommen doet zich voor in de cryptografie. Als
onderliggend veld wordt niet langer voor R gekozen, maar voor het eindig veld Fp, met karakteristiek
verschillend van 2 of 3 om te garanderen dat de vorm van de vergelijking behouden blijft. Er wordt
één bepaald punt P op de kromme gekozen als “generator” en boodschappen worden versleuteld met een
punt Q = k · P. Hier doet het “discreet logaritme”-probleem zich voor: over eindige velden is er geen
efficiënt algoritme gekend om de waarde van k te weten te komen uit de waarden van Q en P. Het naïeve
algoritme, P optellen totdat Q gevonden is, is computationeel gezien onhaalbaar voor voldoende grote kwaarden.
Dit geeft aanleiding tot een adequaat versleutelingsmechanisme, Elliptic Curve Cryptography of
ECC, dat voordelen biedt tegenover RSA (zie 285, blz. 194). Om met RSA hetzelfde beveiligingsniveau
te bereiken als ECC is een veel grotere sleutel nodig: een 256-bit ECC-sleutel verschaft vergelijkbare
beveiliging als een 3072-bit RSA-sleutel.
329 Vlechtgroepen
De vlechtgroepen Bn vormen een familie oneindige groepen met een intuïtieve meetkundige betekenis.
Ze werden voor het eerst expliciet vermeld door Emil Artin in 1925 en eerder al impliciet door Adolf
Hurwitz. Begin met een kubus en plaats er n strengen in, die vertrekken aan het bovenste zijvlak en
toekomen aan het onderste, elkaar niet snijden, en uitsluitend naar beneden gaan om geen knopen te
bekomen. Een voorbeeld van een structuur die we ze willen vermijden, is deze (horizontaal getekend):
250