Curiosa Mathematica

60 Formules van Vieta
II Algebra
De formules van Vieta geven een handige relatie tussen de nulpunten en de coëfficiënten van polynomen.
François Viète ontdekte deze eigenschap in de 16 de eeuw voor positieve nulpunten, en het algemene geval
werd in de 17 de eeuw begrepen door Albert Girard.
Beschouw een algemene veelterm van graad n:
anx n +an−1x n−1 +...+a1x+a0
Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft deze veelterm dan juist n, niet noodzakelijkerwijs verschillende,
complexe nulpunten r1,r2...rn. Noem dan si de som van alle mogelijke producten van deze
nulpunten, telkens per i genomen en zonder dubbel te tellen.
s1 = r1 +r2 +...+rn
s2 = r1r2 +r1r3 +...+rn−1rn
s3 = r1r2r3 +r1r2r3 +...+rn−2rn−1rn
.
sn = r1r2...rn
Volgens de formules van Vieta geldt dan:
i an−i
si = (−1)
an
Voor de algemene vierkantsvergelijking zijn deze formules welbekend en worden ze in het middelbaar
als de som- en productformules aangeleerd. Vieta’s formules echter veralgemenen deze eigenschap naar
n de -graadsveeltermen.
ax 2 +bx+c = 0 ⇒ x1 +x2 = −b
a , x1x2 = c
a
ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 ⇒ x1+x2+x3 = −b
a , x1x2+x1x3+x2x3 = c
a , x1x2x3 = −d
a
61 Tekenregel van Descartes
René Descartes beschreef deze techniek om het aantal nulpunten van een veelterm te helpen bepalen in
zijn werk La Géométrie uit 1637 (een appendix voor zijn belangrijkste werk Discours de la Méthode). De
tekenregel stelt het volgende:
Het aantal positieve reële wortels van een reële veelterm wordt begrensd
door het aantal wisselingen van teken in zijn coëfficiënten.
Later wist Carl Friedrich Gauss deze techniek nog te verfijnen, door te stellen dat het aantal positieve
wortels (multipliciteit meegerekend) dezelfde pariteit heeft als het aantal tekenwisselingen. Beschouw als
35