Curiosa Mathematica

287. Fractran
Algoritmes worden onderverdeeld in enkele complexiteitsklassen. Normaal worden programma’s met invoer
van grootteorde n uitgevoerd in een tijdsduur afhankelijk van n, zoals n 2 , nlogn, 2 n , √ n...
Problemen uitvoerbaar in “redelijke tijd” ten opzichte van hun invoer, worden opgenomen in de klasse P.
Concreet houdt dit in dat het programma uit te voeren moet zijn in polynomiale tijd, n c voor een bepaalde
constante c. Deze complexiteitsklasse bevat ruwweg de “eenvoudig” op te lossen problemen; klassen als
2 n , n! of zelfs n n , vereisen algauw ontzettend veel rekentijd voor grotere n-waarden, en worden beschouwd
als “moeilijk”.
287 Fractran
John Conway, de gevierde wiskundige die zich specialiseerde in recreatieve wiskunde en de popularisering
ervan, ontdekte deze opmerkelijke “programmeertaal” Fractran. In theorie is zijn elegante systeem
Turing-compleet (zie 312, blz. 235), wat min of meer inhoudt dat elke mogelijke programmeerbare berekening
of gegevensbewerking ook in Fractran geprogrammeerd kan worden (hetzij nogal omslachtig).
Een programma in Fractran bestaat uit een lijst positieve breuken fi, met een initiële, gehele input n.
n ↦−→ (f1,f2...fk) ↦−→ ?
Het programma wordt uitgevoerd door het getal n steeds te updaten naar een nieuw geheel getal door
vermenigvuldiging met de eerste breuk in de lijst waarvoor het product geheel is. Wanneer geen enkele
breuk nog een geheel getal zou produceren, stopt het programma.
Hier volgt een eerste, eenvoudig voorbeeld, dat een natuurlijke optelling implementeert: de invoerwaarde
n = 2 a 3 b in dit programma stopt na b stappen met het geheel getal 2 a+b .
2 a 3 b
↦−→
2
3
196
↦−→ 2 a+b