Curiosa Mathematica

326. Stelling van Cayley
326 Stelling van Cayley
327 Schilderijen ophangen
Schilderijen kunnen op verschillende manieren worden opgehangen aan spijkers zodat aan bepaalde eisen
voldaan worden. Bijvoorbeeld, ophangen aan drie spijkers zodat het schilderij valt bij verwijdering van
eender welke spijker, of zodat het juist blijft hangen bij verwijdering van eender welke twee spijkers; het
is geen eenvoudige puzzel zulke configuraties te vinden.
Groepentheorie biedt hier hulp. Noem de gebruikte spijkers A, B, C... en noteer a wanneer het koord
kloksgewijs over A hangt. Zijn inverse, a −1 , betekent dat het koord tegen de klok in over A ligt. Het
identiteitselement, e, houdt hier in dat het koord over geen enkele spijker ligt en dus sowieso zal vallen.
De volgende configuraties geven enkele voorbeelden:
e a a −1 ab ab −1
aba −1 aa −1 aaa aba −1 b −1
abc
a −1 b −1 c −1
Merk op dat het schilderij direct valt bij aa −1 = e. Bij aba −1 b −1 is één spijker uittrekken (gelijk welkeen)
voldoende om het te laten vallen, bij aba −1 blijft het enkel hangen bij verwijdering van spijker A, terwijl
bij ab de configuratie solide genoeg is om het schilderij op te houden bij verwijdering van eender welke
spijker. Algemeen, als de formule horende bij een ophanging herleidt naar e bij schrapping van alle x en
x −1 , zal het kader vallen bij verwijdering van spijker X.
Neil Fitzgerald gaf een eenvoudige, recursieve constructie voor een ophanging aan n spijkers, die valt
als één willekeurige spijker weggenomen wordt. Noem de spijkers x1 tot xn, de oplossing met n spijkers
noteren we met Sn. De notatie [g,h] geeft een verkorte weergave van de uitdrukking ghg −1 h −1 weer;
deze wordt de commutator van g en h genoemd en geeft aan in welke mate deze elementen commuteren.
Uiteindelijk geldt de volgende recursiebetrekking:
S1 = x1, Sn = [Sn−1,xn]
Deze oplossing wordt algauw complex: het aantal symbolen in Sn groeit exponentieel als 2 n +2 n−1 −2.
Daarna voorzag Chris Taylor een constructie waarvan de lengte polynomiaal groeit, ten hoogste als 2n 2
(OEIS A073121). De illustratie hieronder beeldt een oplossing met drie spijkers af.
abcb −1 c −1 a −1 cbc −1 b −1
248