Curiosa Mathematica

142. Fermats halvecirkelprobleem
Bewijzen van deze eenvoudige stelling bleken relatief moeilijk te zijn: het eerste echte bewijs werd pas
gegeven 15 jaar nadat Morley zijn stelling publiceerde.
De lengtes z van deze driehoek van Morley kunnen worden berekend via deze formule, waar α,β en γ de
hoekgroottes van de originele driehoek voorstellen en R de straal van de omgeschreven cirkel:
α
β
γ
z = 8R·sin ·sin ·sin
3 3 3
142 Fermats halvecirkelprobleem
Pierre de Fermat beschreef dit probleem in een brief naar Kenelm Digby, waarschijnlijk in 1658.
Construeer een halve cirkel ANB, waarbij N de halve omtrek in twee deelt, en plaats die op een rechthoek
met afmetingen |AB| en |AN|. Kies een willekeurig punt op de halve cirkel. Noem dan de snijpunten
van de bovenzijde van de rechthoek met de lijnstukken die het punt op de halve cirkel verbinden met de
onderhoeken, respectievelijk X en Y . Fermat beweerde nu dat de volgende uitdrukking geldt, ongeacht
welk punt op de halve cirkel:
A B
X Y
|AY| 2 +|BX| 2 = |AB| 2
Fermat zelf gaf geen bewijs voor dit elegante resultaat. Deze werd pas in de 18 de eeuw opgelost door
Leonhard Euler, die een “ouderwets”, puur geometrisch bewijs gaf omdat hij een bewijs via analytische
meetkunde te voor de hand liggend vond.
143 Stelling van Monsky
De studie der equidissecties (dissecties van veelhoeken in driehoeken met dezelfde oppervlakte) begon bij
Fred Richman, toen hij in 1965 een masterexamen voorbereidde aan de New Mexico State University.
Tijdens het zoeken naar een meetkundevraag, ontdekte hij dat het lastig was een vierkant te verdelen
in een oneven aantal even grote driehoeken; een even aantal is triviaal. Richman zelf kon bewijzen dat
zulke verdelingen in drie of vijf driehoeken onmogelijk zijn, maar niet algemeen en hij nam de vraag niet
op in het examen.
84