Curiosa Mathematica

321. Strookpatroongroepen
Bevat reflecties in vier richtingen, glijspiegelingen, twee rotatiesymmetrieën
van orde 4, en één rotatiesymmetrie van orde 2, allen op de spiegelassen.
IUC: p4mm of p4m
Orbifold: ∗442
Bevat drie rotatiesymmetrieën, elk van orde 3.
IUC: p311 of p3
Orbifold: 333
Bevat drie rotaties van orde 3, allen gelegen op de snijpunten van de spiegelassen,
die hoeken van 60 ◦ met elkaar maken.
IUC: p3m1
Orbifold: ∗333
Bevat twee rotaties van orde 3, waarvan één gelegen op de snijpunten van
de spiegelassen, die hoeken van 60 ◦ met elkaar maken.
IUC: p31m
Orbifold: 3∗3
Bevat drie rotatiesymmetrieën, van orde 2, 3 en 6, zonder spiegel- of glijspiegelsymmetrie.
IUC: p611 of p6
Orbifold: 632
Bevat drie rotatiesymmetrieën, van orde 2, 3 en 6, elk gelegen op snijpunten
van de spiegelassen, die zich in 6 richtingen uitstrekken.
IUC: p6mm of p6m
Orbifold: ∗632
Nauw verwant met de behangpatroongroepen zijn de strookpatroongroepen, (zie 321, blz. 243), die slechts
in één richting translatiesymmetrie bevatten. Daarvan zijn er juist zeven vormen.
321 Strookpatroongroepen
322 Quaternionengroep
De quaternionengroep Q8 of H is een niet-abelse groep van orde 8, gebaseerd op de vermenigvuldiging
van de basisquaternionen 1, i j en k. Ze wordt als volgt gepresenteerd, waarbij 1 het eenheidselement
voorstelt en ook −1 commuteert met de andere elementen.
Q8 = 〈−1,i,j,k | i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1〉
Deze fundamentele quaternionenformule werd tijdens een wandeling in 1843 ontdekt door de Ier William
Hamilton, die de verleiding niet kon weerstaan zijn ontdekking in een steen van de Brougham Bridge te
kerven.
243