Curiosa Mathematica

145. Negenpuntscirkel
• Teken een cirkel met centrum O en een diameter, eindigend op P1.
• Teken de straal loodrecht op deze diameter en het punt A op een vierde van deze straal.
• Construeer B zodanig op OP1 dat de hoek OÂB een vierde zo groot is als de hoek OÂP1.
• Zoek C op dezelfde diagonaal zodat BÂC = 45◦ .
• Teken de halve cirkel met diameter [CP1]; deze snijdt de loodrechte straal in het punt D.
• Teken de halve cirkel met centrum B en straal [BD].
• Het snijpunt van deze halve cirkel met [OP1] wordt het punt E.
• Construeer de loodrechte door E op de diameter. Deze snijdt de oorspronkelijke cirkel in P4.
• De punten P1 en P4 zijn hoekpunten van de zeventienhoek, die nu makkelijk vervolledigd wordt.
D
A
P4
C OB
E
Friedrich Richelot en Hugo Schwendenwein vonden constructies voor de 257-hoek in 1832. Johann Hermes
spendeerde tien jaar aan een constructie voor de 65537-hoek rond 1900.
145 Negenpuntscirkel
Deze opmerkelijke meetkundige curiositeit wordt toegeschreven aan Karl Feuerbach, die in 1822 een verband
ontdekte tussen de voetpunten van de hoogtelijnen in een driehoek en middelpunten van zijn zijden,
hoewel Charles Brianchon en Jean-Victor Poncelet dezelfde observatie iets eerder hadden gemaakt. Olry
Terquem voegde kort na Feuerbachs ontdekking drie gerelateerde punten toe aan hun resultaat. Ook Leonhard
Euler wordt tot de ontdekkers van deze eigenschappen gerekend (al in 1765); de negenpuntscirkel
staat dan ook bekend als de cirkel van Feuerbach, de cirkel van Terquem en de cirkel van Euler.
Teken de volgende punten in een willekeurige driehoek:
• de middelpunten van de drie zijden
• de voetpunten van de drie hoogtelijnen
• de middelpunten van de lijnsegmenten tussen het hoogtepunt en de drie hoekpunten
Deze negen punten liggen nu verrassend genoeg op eenzelfde cirkel, die voldoet aan nog meer eigenschappen.
Feuerbach bewees dat de negenpuntscirkel uitwendig raakt aan de drie aangeschreven cirkels en
inwendig aan de ingeschreven cirkel van de driehoek. Zijn middelpunt ligt ook op de rechte van Euler
(zie 163, blz. 106), en zijn straal is half zo lang als die van de omgeschreven cirkel. Wanneer een rechthoekige
hyperbool (met loodrechte diagonalen) door de drie hoekpunten gaat, ligt zijn middelpunt op de
negenpuntscirkel - deze eigenschap staat bekend als Feuerbachs kegelsnedestelling.
86
P1