Curiosa Mathematica

267 PDDI’s
XII Varia
Munchausengetallen zijn natuurlijke getallen die gelijk zijn aan de som van hun cijfers, elk verheven tot de
macht gelijk aan het cijfer. Daardoor worden ze ook “perfect digit-to-digit invariants” of PDDI’s genoemd.
In elk talstelsel zijn er slechts een eindig aantal Munchausengetallen; voor het klassieke tientallig stelsel
zijn er officieel slechts twee, waarvan dan nog één triviale.
1 = 1 1 , 3435 = 3 3 +4 4 +3 3 +5 5
Wanneer we de conventie 0 0 = 0 toelaten, zijn er nog twee extra mogelijkheden, met alweer een triviale.
0 0 = 0, 438579088 = 4 4 +3 3 +8 8 +5 5 +7 7 +9 9 +0 0 +8 8 +8 8
De Munchausengetallen vormen één van de kortste rijen in OEIS (OEIS A046253).
268 Knuths pijlomhoognotatie
Donald Knuth, bekend informaticus en zelfs door velen beschouwd als “de vader van de informatica”,
introduceerde de pijlomhoognotatie in 1976 als notatie voor enorm grote getallen, waar de klassieke decimale
notatie veel te veel plaats zou innemen. Zijn idee is gebaseerd op de definities van vermenigvuldiging
als een herhaalde optelling en machtsverheffing als een herhaalde vermenigvuldiging.
a·b = a+a+...+a
b termen
a b = a·a·...·a
b factoren
En zelfs de optelling kan min of meer gedefineerd worden op basis van een functie van lagere orde: Peano’s
opvolgerfunctie S(n), die voorkomt in zijn axioma’s voor de getaltheorie.
a+b = S(S(...S(a)...))
b argumenten
Deze herhaalde bewerkingen inspireerden Knuth tot een bewerking van hogere orde, gedefinieerd als een
herhaalde machtsverheffing. Hij noteerde a ↑ b voor a b ; de uitbreiding schreef hij als een dubbele pijl.
Analoog volgde de driedubbele pijl:
a ↑↑ b = a a...a
= a ↑ (a ↑ (... ↑ a))
b kopieën van a b kopieën van a
a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ ... ↑↑ a
b kopieën van a
180