Curiosa Mathematica

108. Stelling van Gauss-Lucas
Met andere woorden, de uiteindelijke hoorn van Gabriël, met a → ∞, zal een onbegrensde oppervlakte
hebben. Wanneer we echter het volume uitrekenen, verkrijgen we iets onverwachts.
a
V = π f(x) 2 a
dx
dx = π = π · 1−
x2 1
a
1
Laat hier a tot oneindig naderen, en het volume van Gabriëls hoorn nadert naar π, in plaats van onbeperkt
toe te nemen. Dit leidt tot de paradoxale conclusie dat het wél mogelijk is de hoorn vol te gieten met
een eindige hoeveelheid verf (namelijk π eenheden), maar onmogelijk hem volledig te beschilderen!
108 Stelling van Gauss-Lucas
De stelling van Gauss-Lucas geeft een geometrische relatie tussen de complexe nulpunten van een veelterm
en die van zijn afgeleide. Concreet stelt die dat wanneer een convexe veelhoek in het complexe vlak alle
nulpunten van een complexe polynoom P bevat, dan ook alle nulpunten van zijn afgeleide P ′ . Anders
geformuleerd, liggen de nulpunten van P ′ binnen het convex omhulsel ∗ van de nulpunten van P.
De stelling wordt vernoemd naar Carl Friedrich Gauss en Félix Lucas. Een speciaal, opmerkelijker geval
is de stelling van Marden, voor polynomen van de derde graad (zie 126, blz. 73).
109 Sturmketens
De Sturmketen van een polynoom P, genoemd naar Jacques Sturm, wordt eenvoudig gevonden door een
variant op Euclides’ algoritme. De hierop voortbouwende stelling van Sturm drukt het aantal verschillende,
reële nulpunten van P binnen een bepaald interval uit met behulp van deze Sturmketens en kan
gebruikt worden om deze nulpunten te lokaliseren.
De Sturmketen is een rij veeltermen met strikt dalende graad die begint bij de veelterm P zelf en zijn
afgeleide. Elke volgende term is de rest bij polynomiale deling van de vorige twee, veranderd van teken,
en de keten stopt bij een constante.
K0 = P
K1 = P ′
K2 = −rem(P,P ′ )
.
I
1
R
Km = −rem(Km−2,Km−1)
.
0 = −rem(Kn−1,Kn)
∗ Een convex omhulsel kan worden voorgesteld met een elastiekje dat rondom de verzameling punten losgelaten wordt:
deze zal zich dan rond de punten spannen als hun convex omhulsel.
60